ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(B\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(BA\) и \(BC\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(45^\circ\). Расстояние между основаниями наклонных равно \(16\) см. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если угол между наклонными равен \(60^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) основания наклонных \(A\) и \(C\) лежат на плоскости, \(AC = 16\) см, угол между наклонными \(60^\circ\), а углы между каждой наклонной и плоскостью \(45^\circ\). Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на плоскость, тогда \(AH = HC = x\).

По теореме косинусов: \(AC^2 = AH^2 + HC^2 — 2 \cdot AH \cdot HC \cdot \cos 60^\circ\), то есть \(16^2 = x^2 + x^2 — 2x^2 \cdot \frac{1}{2}\), отсюда \(256 = 2x^2 — x^2\), значит \(x^2 = 128\), \(x = 8\sqrt{2}\).

Ответ: \(8\sqrt{2}\) см.

Пусть точка \(B\) находится вне плоскости \(\alpha\), а точки \(A\) и \(C\) — основания наклонных \(BA\) и \(BC\) соответственно, которые образуют с плоскостью угол \(45^\circ\). Основания \(A\) и \(C\) соединены отрезком \(AC = 16\) см. Угол между наклонными \(BA\) и \(BC\) равен \(60^\circ\). Требуется найти расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), обозначим его как \(BH\), где \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на \(\alpha\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), где вершина \(B\) находится вне плоскости, а точки \(A\) и \(C\) лежат на плоскости. Из точки \(B\) опустим перпендикуляр \(BH\) на плоскость \(\alpha\). Пусть \(AH\) и \(CH\) — проекции наклонных \(BA\) и \(BC\) на плоскость. Так как угол между наклонными и плоскостью равен \(45^\circ\), длина наклонной выражается через высоту как \(BA = \frac{BH}{\sin 45^\circ} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = x\sqrt{2}\), аналогично и для \(BC\).

Треугольник \(AHC\) является равнобедренным, так как \(AH = CH = x\), где \(x = BH\). По теореме косинусов для треугольника \(AHC\): \(AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} — 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos 60^\circ\). Подставляем значения: \(16^{2} = x^{2} + x^{2} — 2x^{2} \cdot \frac{1}{2}\). Получаем: \(256 = 2x^{2} — x^{2}\), то есть \(x^{2} = 128\), отсюда \(x = 8\sqrt{2}\).

Таким образом, расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно \(8\sqrt{2}\) см.