ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(A\) находится на расстоянии \(3\sqrt{3}\) см от плоскости \(\alpha\). Наклонные \(AB\) и \(AC\) образуют с плоскостью углы \(60^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно, а угол между наклонными равен \(90^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Пусть расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(3\sqrt{3}\) см.

Длина наклонной \(AB = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\) см.

Длина наклонной \(AC = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6}\) см.

Расстояния от основания перпендикуляра \(H\) до оснований наклонных: \(HB = AB \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см, \(HC = AC \cdot \cos 45^\circ = 3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}\) см.

Так как угол между наклонными \(90^\circ\), треугольник \(BHC\) прямоугольный, тогда \(BC^2 = HB^2 + HC^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36\), значит \(BC = 6\) см.

Пусть точка \(A\) расположена на расстоянии \(3\sqrt{3}\) см от плоскости \(\alpha\), это означает, что длина перпендикуляра \(AH\) из точки \(A\) к плоскости равна \(3\sqrt{3}\) см. Наклонные \(AB\) и \(AC\) выходят из точки \(A\) и опускаются на плоскость \(\alpha\) так, что угол между каждой наклонной и перпендикуляром \(AH\) равен соответственно \(60^\circ\) для \(AB\) и \(45^\circ\) для \(AC\). По определению длины наклонной, она выражается через длину перпендикуляра и синус угла между наклонной и перпендикуляром: \(AB = \frac{AH}{\sin 60^\circ}\), \(AC = \frac{AH}{\sin 45^\circ}\). Подставляя значения, получаем \(AB = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\) см, а \(AC = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6}\) см.

Основания наклонных \(B\) и \(C\) лежат на плоскости \(\alpha\). Чтобы найти расстояния от основания перпендикуляра \(H\) до оснований наклонных, используем косинус соответствующего угла: \(HB = AB \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см, \(HC = AC \cdot \cos 45^\circ = 3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}\) см. Это значит, что точки \(B\) и \(C\) находятся на плоскости \(\alpha\) на расстояниях \(3\) см и \(3\sqrt{3}\) см от точки \(H\), причем угол между направлениями \(HB\) и \(HC\) равен \(90^\circ\), поскольку угол между наклонными \(AB\) и \(AC\) равен \(90^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(BHC\) на плоскости \(\alpha\): он прямоугольный, с катетами \(HB = 3\) см и \(HC = 3\sqrt{3}\) см. Тогда по теореме Пифагора расстояние между точками \(B\) и \(C\) определяется как \(BC = \sqrt{HB^2 + HC^2}\). Подставляем значения: \(BC = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\) см. Таким образом, искомое расстояние между основаниями наклонных равно \(6\) см.