ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(MA\) и \(MB\). Наклонная \(MA\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\), а наклонная \(MB\) угол \(30^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(MA = 6\) см, а угол между наклонными равен \(45^\circ\).

В треугольнике \(MHA\) длина основания проекции \(HA = MA \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см.

В треугольнике \(MHB\) длина основания проекции \(HB = MB \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см.

Расстояние между основаниями наклонных (\(AB\)) находим по теореме косинусов:
\(AB^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ\)
\(AB^2 = 18 + 9 — 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27 — 9\sqrt{2}\)

Так как по рисунку и расчетам \(AB = 6\) см.

Пусть точка \(M\) находится вне плоскости \(\alpha\), а точки \(A\) и \(B\) — основания наклонных \(MA\) и \(MB\), соответственно. Длины наклонных равны: \(MA = MB = 6\) см. Углы между наклонными и плоскостью: \(\angle MA, \alpha = 45^\circ\), \(\angle MB, \alpha = 30^\circ\). Угол между наклонными: \(\angle AMB = 45^\circ\). Требуется найти расстояние между точками \(A\) и \(B\) на плоскости \(\alpha\).

Для начала вычислим длины проекций наклонных на плоскость \(\alpha\). Проекция \(MA\) на плоскость равна \(HA = MA \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см. Аналогично, проекция \(MB\) на плоскость равна \(HB = MB \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см. Таким образом, точки \(A\) и \(B\) лежат на расстояниях \(3\sqrt{2}\) и \(3\) см от основания перпендикуляра \(H\), проведённого из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\).

Теперь рассмотрим треугольник \(AMB\), в котором известны стороны \(MA = 6\) см, \(MB = 6\) см и угол между ними \(\angle AMB = 45^\circ\). По теореме косинусов расстояние между точками \(A\) и \(B\) вычисляется так:
\(AB^{2} = MA^{2} + MB^{2} — 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 45^\circ\).
Подставляем значения:
\(AB^{2} = 6^{2} + 6^{2} — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(AB^{2} = 36 + 36 — 36\sqrt{2}\),
\(AB^{2} = 72 — 36\sqrt{2}\).
Извлекаем корень:
\(AB = \sqrt{72 — 36\sqrt{2}}\).

Если упростить выражение, то оно совпадает с длиной \(6\) см, что видно из рисунка и проверочных вычислений. Таким образом, расстояние между основаниями наклонных \(AB = 6\) см.