ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от сторон квадрата \(ABCD\), сторона которого равна \(9\sqrt{6}\) см, и находится на расстоянии \(9\) см от плоскости квадрата. Найдите угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата.

В центре квадрата \(O\), расстояние от центра до вершины \(A\) равно \(AO = \frac{9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{3}\).

Точка \(M\) находится над центром на высоте \(MO = 9\).

В прямоугольном треугольнике \(MAO\) угол между \(MA\) и плоскостью квадрата: \(\tan \alpha = \frac{MO}{AO} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(\alpha = 30^\circ\)

В задаче дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 9\sqrt{6}\). Центр квадрата обозначен буквой \(O\), а точка \(M\) расположена над центром квадрата на расстоянии \(MO = 9\). Требуется найти угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата. Чтобы это сделать, сначала определим расстояние от центра квадрата \(O\) до вершины \(A\). Поскольку квадрат, то диагональ равна \(AB\sqrt{2}\), а расстояние от центра до вершины — половина диагонали, то есть \(AO = \frac{AB\sqrt{2}}{2}\). Подставим значение стороны: \(AO = \frac{9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{12}}{2}\). Так как \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), получаем \(AO = \frac{9 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\).

Рассмотрим треугольник \(MAO\), где \(MO\) — высота, а \(AO\) — основание. Прямая \(MA\) соединяет точку \(M\) (над центром квадрата) с вершиной \(A\), а плоскость квадрата лежит горизонтально. Угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата равен углу между \(MA\) и её проекцией на плоскость квадрата, то есть между \(MA\) и \(AO\). В треугольнике \(MAO\) угол при вершине \(A\) можно найти по тангенсу: \(\tan \alpha = \frac{MO}{AO}\). Подставляем значения: \(\tan \alpha = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Зная тангенс угла, вычисляем сам угол: \(\alpha = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\). Это стандартное значение: \(\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(MA\) и плоскостью квадрата равен \(30^\circ\).