ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана точка \(D\) такая, что прямые \(DA\), \(DB\) и \(DC\) образуют с плоскостью правильного треугольника \(ABC\) углы по \(45^\circ\). Найдите расстояние от точки \(D\) до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника \(ABC\), если его сторона равна \(6\) см.

В правильном треугольнике со стороной \(a = 6\) высота равна \(h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

Расстояние от центра треугольника до стороны: \(OK = \frac{h}{3} = \sqrt{3}\).

Расстояние от центра до вершины: \(OA = \frac{2h}{3} = 2\sqrt{3}\).

Если точка \(D\) вне плоскости треугольника и расстояние \(DO = 2\sqrt{3}\), угол между прямой \(DC\) и плоскостью \(45^\circ\):

Расстояние от \(D\) до вершины: \(DA = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).

Расстояние от \(D\) до стороны: \(DH = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{15}\).

Расстояние от \(D\) до центра: \(DO = 2\sqrt{3}\).

В правильном треугольнике со стороной \(a = 6\) высота вычисляется по формуле \(h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значение стороны, получаем \(h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Центр треугольника — точка пересечения медиан — делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому расстояние от центра до стороны можно найти как треть высоты: \(OK = \frac{h}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\). Расстояние от центра до вершины будет равно двум третям высоты: \(OA = \frac{2h}{3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).

Рассмотрим точку \(D\) вне плоскости треугольника, такую, что расстояние от неё до центра треугольника \(DO = 2\sqrt{3}\). Если угол между прямой \(DC\) и плоскостью треугольника равен \(45^\circ\), то для нахождения расстояния от точки \(D\) до вершины треугольника \(A\) используем теорему Пифагора: \(DA^{2} = DO^{2} + OA^{2}\). Подставляя значения, получаем \(DA^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + (2\sqrt{3})^{2} = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24\), значит \(DA = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).

Для нахождения расстояния от точки \(D\) до стороны треугольника (\(DH\)), где \(H\) — проекция \(D\) на сторону, снова используем теорему Пифагора: \(DH^{2} = DO^{2} + OK^{2}\). Подставляя значения, получаем \(DH^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 12 + 3 = 15\), значит \(DH = \sqrt{15}\). Расстояние от точки \(D\) до центра треугольника по условию \(DO = 2\sqrt{3}\).