ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, образующая с данной плоскостью угол \(50^\circ\). Чему равен угол между данными наклонной и перпендикуляром?

Дано: угол между наклонной и плоскостью равен \(50^\circ\).

Угол между наклонной и перпендикуляром к плоскости равен разности \(90^\circ\) и угла между наклонной и плоскостью:

\(90^\circ — 50^\circ = 40^\circ\)

Ответ: \(40^\circ\)

Рассмотрим задачу более подробно. Пусть из точки вне плоскости проведён перпендикуляр \(d\) к плоскости, а также наклонная \(a\), которая образует с плоскостью угол \(50^\circ\). Это означает, что угол между наклонной и её проекцией на плоскость равен \(50^\circ\). Перпендикуляр \(d\) по определению составляет угол \(90^\circ\) с плоскостью. Требуется найти угол между наклонной \(a\) и перпендикуляром \(d\).

В пространстве угол между наклонной и перпендикуляром определяется следующим образом: если наклонная образует с плоскостью угол \(\alpha\), то угол между наклонной и перпендикуляром равен \(90^\circ — \alpha\). Это связано с тем, что наклонная, её проекция на плоскость и перпендикуляр к плоскости из одной и той же точки образуют прямоугольный треугольник, где один угол прямой (\(90^\circ\)), второй равен углу между наклонной и плоскостью (\(50^\circ\)), а третий — искомый угол между наклонной и перпендикуляром.

Подставляя значение угла между наклонной и плоскостью, получаем: угол между наклонной и перпендикуляром равен \(90^\circ — 50^\circ = 40^\circ\). То есть, если обозначить угол между наклонной и перпендикуляром через \(\beta\), то \(\beta = 90^\circ — 50^\circ = 40^\circ\). Таким образом, окончательный ответ — угол между наклонной и перпендикуляром составляет \(40^\circ\).