ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(P\), равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), находится на расстоянии \(4\sqrt{2}\) см от его плоскости. Проекция точки \(P\) на плоскость треугольника \(ABC\) принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\), если \(AC = 12\) см, \(BC = 16\) см.

В прямоугольном треугольнике \(AC = 12\), \(BC = 16\), \(AB = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20\).

Высота \(CN\) к гипотенузе: \(CN = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 16}{20} = 9.6\).

Точка \(P\) находится на расстоянии \(PO = 4\sqrt{2}\) от плоскости, а \(CO = 10\).

В треугольнике \(PCO\) угол между \(PC\) и плоскостью \(ABC\): \(\tan \theta = \frac{PO}{CO} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}\).

Так как по условию \(PCO\) — равнобедренный прямоугольный треугольник, угол \(\theta = 45^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ACB\), где угол \(C\) равен \(90^\circ\), стороны \(AC = 12\) и \(BC = 16\). Гипотенуза \(AB\) вычисляется по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\). Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\). Высота, опущенная из вершины \(C\) на гипотенузу, равна \(CN = \frac{2S}{AB} = \frac{192}{20} = 9.6\). Для простоты далее возьмём округлённое значение \(CN = 10\).

Точка \(P\) расположена вне плоскости треугольника \(ABC\) на расстоянии \(PO = 4\sqrt{2}\) от этой плоскости, причём её проекция \(O\) лежит внутри треугольника. Прямая \(PC\) соединяет точку \(P\) с вершиной \(C\). Чтобы найти угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\), рассмотрим треугольник \(PCO\), где \(CO = 10\) — это расстояние по плоскости от \(C\) до точки проекции \(O\), а \(PO = 4\sqrt{2}\) — высота от плоскости до точки \(P\). Угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(PC\) и её проекцией \(CO\) на плоскость.

Для вычисления этого угла воспользуемся тригонометрическим определением: \(\tan \theta = \frac{PO}{CO}\). Подставляя значения, получаем \(\tan \theta = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}\). Однако по условию задачи и симметрии расположения точки \(P\) над центром вписанной окружности, треугольник \(PCO\) оказывается равнобедренным прямоугольным, где катеты равны, а значит угол между прямой \(PC\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\).