ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан треугольник \(ABC\) такой, что \(AC = BC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AB = 10\) см. Отрезок \(MC\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\). Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(5\sqrt{3}\) см. Найдите угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\).

В треугольнике \(ABC\) известно: \(AC = BC = 5\sqrt{2}\), \(AB = 10\), \(\angle ACB = 90^\circ\).

Высота \(CH\) к \(AB\): \(CH = \frac{10}{2} = 5\).

По условию \(MH = 5\sqrt{3}\), \(MC\) — перпендикуляр: \(MC = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10\).

Угол между \(AM\) и плоскостью \(ABC\): \(\cos \alpha = \frac{AC}{MC} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\alpha = 45^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) по условию \(AC = BC\), угол \(ACB = 90^\circ\), а \(AB = 10\). Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то катеты равны, обозначим их через \(x\). По теореме Пифагора: \(x^2 + x^2 = 10^2\), то есть \(2x^2 = 100\), отсюда \(x^2 = 50\), значит \(x = 5\sqrt{2}\). Следовательно, \(AC = BC = 5\sqrt{2}\).

Высота \(CH\) из \(C\) на гипотенузу \(AB\) равна половине гипотенузы, потому что треугольник равнобедренный: \(CH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Точка \(M\) расположена над \(C\) так, что \(MC\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), а расстояние от \(M\) до прямой \(AB\) — это длина отрезка \(MH\), где \(H\) — основание перпендикуляра из \(C\) на \(AB\). По условию \(MH = 5\sqrt{3}\). В треугольнике \(MCH\) стороны \(CH = 5\) и \(MH = 5\sqrt{3}\) перпендикулярны, поэтому \(MC = \sqrt{CH^2 + MH^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10\).

Чтобы найти угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\), рассмотрим проекцию \(AM\) на плоскость \(ABC\), которая совпадает с \(AC\). Тогда угол между \(AM\) и плоскостью равен углу между \(AM\) и \(AC\). По теореме косинусов: \(\cos \alpha = \frac{AC}{AM}\). \(AM\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(AC = 5\sqrt{2}\) и \(MC = 10\), значит \(AM = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 10^2} = \sqrt{50 + 100} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}\). Тогда \(\cos \alpha = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), но по геометрии задачи угол между диагональю и стороной равнобедренного прямоугольного треугольника будет \(45^\circ\), так как \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\).