ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(DA\) — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника \(ABC\), \(AD = AB\), точка \(E\) — середина стороны \(BC\). Найдите угол между:

1) прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\);

2) прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\).

В треугольнике \(ABC\) точка \(E\) — середина \(BC\), значит \(BE = \frac{1}{2}AB\). В правильном треугольнике угол между стороной и медианой, проведённой к ней, равен \(30^\circ\), так как медиана делит сторону пополам.

Ответ: угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\) равен \(30^\circ\).

\(DA\) — высота, проведённая к плоскости \(ABC\), и равна стороне \(AB\), значит треугольник \(ABD\) — равносторонний. Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен углу треугольника \(ABC\), то есть \(60^\circ\).

Ответ: угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен \(60^\circ\).

В правильном треугольнике \(ABC\) все стороны равны, пусть длина стороны равна \(a\). Пусть \(DA\) — высота, проведённая к плоскости \(ABC\), и \(AD = AB = a\). Точка \(E\) — середина \(BC\), поэтому \(BE = \frac{a}{2}\). Рассмотрим угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\). Для этого найдём косинус угла между вектором \(AB\) и нормалью к плоскости \(ADE\). Вектор \(AB\) лежит в плоскости основания, а плоскость \(ADE\) проходит через вершину \(A\), высоту \(AD\) и точку \(E\). Из-за симметрии правильного треугольника медиана \(AE\) делит угол \(BAC\) пополам, а угол между \(AB\) и \(AE\) равен \(30^\circ\). Плоскость \(ADE\) содержит векторы \(AD\) (перпендикуляр к основанию) и \(AE\) (медиана), поэтому угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\) равен углу между \(AB\) и \(AE\), то есть \(30^\circ\).

Теперь рассмотрим угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\). Плоскость \(ABD\) содержит сторону \(AB\) и высоту \(AD\), которая равна стороне основания. В правильном треугольнике высота, проведённая из вершины \(A\) к основанию \(BC\), равна стороне треугольника, то есть \(AD = AB = a\). Из-за симметрии треугольника плоскость \(ABD\) образует с прямой \(AC\) угол, равный углу между сторонами правильного треугольника, то есть \(60^\circ\). Это объясняется тем, что плоскость \(ABD\) проходит через вершины \(A\) и \(B\), а также через точку \(D\), лежащую на высоте, перпендикулярной основанию, а угол между \(AC\) и плоскостью \(ABD\) совпадает с углом между сторонами треугольника \(ABC\).

Таким образом, для вычисления углов достаточно воспользоваться свойствами правильного треугольника и симметрией задачи. Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(ADE\) равен \(30^\circ\), потому что медиана делит угол основания пополам, а угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ABD\) равен \(60^\circ\), потому что это угол между сторонами правильного треугольника.