ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости квадрата \(ABCD\), причём \(MB = AB\). Найдите угол между:

1) прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\);

2) прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\).

1) Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AB\) и её проекцией на эту плоскость, то есть между \(AB\) и \(BD\). В квадрате этот угол составляет \(45^\circ\).

2) Угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен углу между \(AM\) и её проекцией на плоскость \(BMD\), то есть между \(AM\) и \(MD\). В правильном треугольнике с равными сторонами этот угол составляет \(30^\circ\).

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\) определяется как угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Прямая \(AB\) лежит в плоскости квадрата, а плоскость \(BMD\) содержит вершины \(B\), \(M\) и \(D\), где точка \(M\) расположена вне плоскости квадрата на расстоянии, равном стороне квадрата, и \(MB\) перпендикулярно квадрату. Проекция точки \(A\) на плоскость \(BMD\) совпадает с точкой \(D\), так как \(AD\) — сторона квадрата, а \(BD\) — диагональ квадрата. Таким образом, угол между \(AB\) и \(BD\) в квадрате равен \(45^\circ\), потому что диагональ квадрата делит его угол пополам, а каждый угол квадрата равен \(90^\circ\), следовательно, угол между стороной и диагональю составляет \(90^\circ \div 2 = 45^\circ\).

Для нахождения угла между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\), рассмотрим, что точка \(M\) расположена на расстоянии, равном стороне квадрата, перпендикулярно плоскости квадрата из точки \(B\). Прямая \(AM\) соединяет вершину квадрата \(A\) и точку \(M\) вне плоскости. Чтобы найти угол между \(AM\) и плоскостью \(BMD\), нужно определить угол между прямой \(AM\) и её проекцией на плоскость \(BMD\), которая совпадает с прямой \(AD\), так как проекция точки \(M\) на плоскость квадрата совпадает с точкой \(B\), а проекция точки \(A\) — с самой собой. В треугольнике \(AMD\), где \(AM\) и \(MD\) — стороны, а угол между ними равен \(30^\circ\), потому что треугольник получается равносторонним по построению, учитывая, что \(MB = AB\) и \(AB = AD\).

Таким образом, оба искомых угла определяются геометрическими построениями квадрата и правильной треугольной пирамиды, где вершина \(M\) находится на высоте, равной стороне квадрата, и является вершиной этой пирамиды. Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\) равен \(45^\circ\), а угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\) равен \(30^\circ\).