ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены две равные наклонные, угол между которыми равен \(60^\circ\). Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(90^\circ\). Найдите угол между данными наклонными и плоскостью \(\alpha\).

Две равные наклонные образуют угол \(60^\circ\), а угол между их проекциями на плоскость \(90^\circ\). Пусть угол между наклонной и плоскостью равен \(\theta\).

По формуле косинуса угла между наклонными: \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta\).

Отсюда \(\frac{1}{2} = \cos^2 \theta\), значит \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Следовательно, \(\theta = 45^\circ\).

Пусть точка \(A\) находится вне плоскости \(\alpha\), а из неё к плоскости проведены две равные наклонные \(AB\) и \(AC\), длина которых одинакова. Обозначим их проекции на плоскость как \(AB_1\) и \(AC_1\). По условию угол между наклонными равен \(60^\circ\), а угол между их проекциями равен \(90^\circ\). Требуется найти угол между наклонной и плоскостью, обозначим его как \(\theta\).

Рассмотрим треугольник \(ABB_1\), где \(AB\) — наклонная, а \(AB_1\) — её проекция на плоскость. Из геометрии известно, что угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией. Пусть обе наклонные равны по длине, тогда их проекции тоже равны, а угол между ними — \(90^\circ\). В пространстве угол между наклонными выражается через скалярное произведение: \(\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|}\).

Пусть длина наклонной \(d\), а длина её проекции \(d_1 = d \cos \theta\). Тогда, если угол между проекциями \(90^\circ\), их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{AB_1} \cdot \vec{AC_1} = 0\). Полная формула косинуса угла между наклонными в пространстве с учётом угла между их проекциями \(\phi\) и угла между наклонной и плоскостью \(\theta\) выглядит так: \(\cos(\angle BAC) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos \phi\). Подставляем значения: \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos 90^\circ\). Так как \(\cos 90^\circ = 0\), остается \(\cos 60^\circ = \cos^2 \theta\).

Из этого следует, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), значит \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\). Извлекая корень, получаем \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Соответственно, угол между наклонной и плоскостью: \(\theta = 45^\circ\).