ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(B\) к плоскости \(\beta\) проведены две равные наклонные, угол между которыми прямой. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\beta\) равен \(120^\circ\). Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью \(\beta\).

Две равные наклонные \(BA\) и \(BC\) из точки \(B\) к плоскости \(\beta\) образуют угол \(90^\circ\), а угол между их проекциями на плоскость равен \(120^\circ\). Пусть длина наклонной \(l\), а длина её проекции на плоскость \(x\).

По теореме косинусов для треугольника проекций: \(AC^2 = x^2 + x^2 — 2x^2 \cdot \cos 120^\circ = 2x^2 + x^2 = 3x^2\).

Из условия \(AC = \sqrt{2}\), значит \(3x^2 = 2\), отсюда \(x^2 = \frac{2}{3}\), \(x = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Косинус угла между наклонной и плоскостью: \(\cos \theta = \frac{x}{l}\). Так как \(l = 1\), \(\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

Рассмотрим точку \(B\), от которой к плоскости \(\beta\) проведены две равные наклонные \(BA\) и \(BC\). Пусть длина каждой наклонной равна \(l\). Основания перпендикуляров из точек \(A\) и \(C\) на плоскость обозначим как \(A_1\) и \(C_1\) соответственно. Введем точку \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на плоскость \(\beta\). Тогда проекции наклонных на плоскость — это отрезки \(A_1H\) и \(C_1H\), пусть их длина равна \(x\). По условию угол между наклонными равен \(90^\circ\), а угол между их проекциями на плоскость равен \(120^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(A_1HC_1\) на плоскости \(\beta\). В этом треугольнике стороны \(A_1H\) и \(C_1H\) равны (\(x\)), а угол между ними равен \(120^\circ\). По теореме косинусов: длина стороны \(A_1C_1\) вычисляется как \(A_1C_1^2 = x^2 + x^2 — 2x^2 \cdot \cos 120^\circ\). Так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем \(A_1C_1^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2\). Из геометрических соображений, если наклонные равны и угол между ними \(90^\circ\), то расстояние между их основаниями на плоскости будет равно \(\sqrt{2}\), то есть \(A_1C_1 = \sqrt{2}\). Подставляем это значение: \((\sqrt{2})^2 = 3x^2\), отсюда \(2 = 3x^2\), то есть \(x^2 = \frac{2}{3}\), а значит \(x = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BAH\), где \(BA = l\), \(A_1H = x\), а \(BH = h\) — высота, то есть перпендикуляр из \(B\) на плоскость \(\beta\). По теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + x^2\). Угол между наклонной и плоскостью — это угол между \(BA\) и ее проекцией \(A_1H\), то есть \(\cos \theta = \frac{x}{l}\). Если принять \(l = 1\) (так как наклонные равны и можно выбрать единичную длину для простоты), тогда \(\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}\). Преобразуем это выражение к рациональному знаменателю: \(\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

Таким образом, окончательно косинус угла между наклонной и плоскостью равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).