ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а его сторона \(AB\) образует с этой плоскостью угол \(45^\circ\). Найдите угол между стороной \(AC\) и проекцией стороны \(AB\) на плоскость \(\alpha\), если \(\angle BAC = 60^\circ\).

Сторона (AC) лежит в плоскости, а угол между (AB) и этой плоскостью равен (45^\circ). Угол при вершине (A) равен (60^\circ).
Проекция (AB) на плоскость образует с (AC) угол, равный разности между углом при вершине и углом наклона: (60^\circ — 15^\circ = 45^\circ).
Ответ: (45^\circ).

Пусть точка \(A\) лежит на плоскости \(\alpha\), а сторона \(AC\) полностью принадлежит этой плоскости. Сторона \(AB\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\), а угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\). Обозначим проекцию точки \(B\) на плоскость \(\alpha\) как \(D\), тогда \(AD\) — проекция \(AB\) на плоскость. Таким образом, в плоскости \(\alpha\) мы рассматриваем треугольник \(ACD\), где \(AC\) и \(AD\) исходят из одной вершины \(A\).

Рассмотрим длины сторон: пусть \(AB = 1\) для упрощения вычислений. Тогда длина проекции \(AD\) равна \(AB \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Угол между \(AC\) и \(AB\) равен \(60^\circ\), значит, угол между \(AC\) и проекцией \(AD\) на плоскость — это тот угол, который требуется найти. Для этого используем скалярное произведение: если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) исходят из одной точки, а угол между ними \( \theta \), то их скалярное произведение выражается как \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \).

Поскольку \(AB\) наклонена к плоскости на \(45^\circ\), а угол между \(AC\) и \(AB\) — \(60^\circ\), то угол между \(AC\) и проекцией \(AD\) вычисляется по формуле для косинуса угла между вектором и его проекцией: \( \cos \phi = \frac{\cos 60^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Следовательно, \( \phi = 45^\circ \).

Таким образом, угол между стороной \(AC\) и проекцией стороны \(AB\) на плоскость \(\alpha\) равен \(45^\circ\).