ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол \(60^\circ\). Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.

Пусть угол между прямой и каждой стороной прямого угла равен \(60^\circ\). Тогда угол между этой прямой и плоскостью угла можно найти по формуле: \( \arccos(\cos 60^\circ \cdot \sqrt{2}) \).

Так как \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), получаем: \( \arccos \left( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \right) = \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ \).

Ответ: \(45^\circ\).

Рассмотрим задачу в пространстве. Пусть вершина прямого угла находится в точке \(O\), а его стороны лежат на осях \(Ox\) и \(Oy\), то есть угол между ними равен \(90^\circ\). Через точку \(O\) проведена прямая \(l\), которая образует с каждой из сторон угла одинаковый угол \(60^\circ\). Это означает, что угол между \(l\) и \(Ox\) равен \(60^\circ\), и угол между \(l\) и \(Oy\) также равен \(60^\circ\).

Обозначим направляющий вектор прямой \(l\) как \((a, b, c)\). Направляющие косинусы этого вектора относительно осей \(Ox\) и \(Oy\) равны \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Пусть \(a\) — косинус угла между \(l\) и \(Ox\), \(b\) — косинус угла между \(l\) и \(Oy\), тогда \(a = b = \frac{1}{2}\). Так как вектор единичный, его длина равна \(1\), то есть \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Подставляем значения: \((\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + c^2 = 1\), отсюда \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + c^2 = 1 \), то есть \( \frac{1}{2} + c^2 = 1 \), значит \(c^2 = \frac{1}{2}\), и \(c = \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(c = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь найдём угол между прямой \(l\) и плоскостью \(Oxy\). Косинус этого угла равен модулю третьего направляющего косинуса, то есть \( |c| = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Следовательно, сам угол равен \( \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Из тригонометрии известно, что \( \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ \).

Таким образом, если прямая проходит через вершину прямого угла и образует с каждой стороной угол \(60^\circ\), то угол между этой прямой и плоскостью угла равен \(45^\circ\). Это следует из того, что проекция единичного вектора прямой на оси плоскости составляет по \(\frac{1}{2}\), а на перпендикулярную ось — \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), и именно этот компонент задаёт искомый угол.