ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MA\) и наклонная \(MB\), образующая с плоскостью \(\alpha\) угол \(\varphi\). Найдите: 1) проекцию наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\), если расстояние от точки \(M\) до этой плоскости равно \(d\); 2) наклонную \(MB\), если её проекция на плоскость \(\alpha\) равна \(a\).

1) Пусть \(MA = d\). По определению тангенса угла наклона: \(\tan\varphi = \frac{MA}{BD}\), откуда \(BD = \frac{d}{\tan\varphi}\).

2) Пусть \(BD = a\). По определению косинуса угла наклона: \(\cos\varphi = \frac{BD}{MB}\), откуда \(MB = \frac{a}{\cos\varphi}\).

Рассмотрим первый пункт задачи. Пусть расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) по перпендикуляру \(MA\) равно \(d\). Наклонная \(MB\) образует угол \(\varphi\) с плоскостью, а её проекция на плоскость обозначена как \(BD\). В треугольнике \(MBD\) угол между наклонной и плоскостью равен \(\varphi\), а катеты — это \(MA = d\) и \(BD\). По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: \(\tan\varphi = \frac{MA}{BD}\). Подставляя известное расстояние, получаем: \(\tan\varphi = \frac{d}{BD}\). Отсюда выражаем проекцию наклонной: \(BD = \frac{d}{\tan\varphi}\). Это значит, что чтобы найти длину проекции наклонной на плоскость, нужно расстояние от точки до плоскости разделить на тангенс угла наклона.

Рассмотрим второй пункт задачи. Пусть проекция наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\) равна \(a\), то есть \(BD = a\). Необходимо найти саму наклонную \(MB\). В том же треугольнике \(MBD\) угол между наклонной и плоскостью \(\varphi\), а стороны — это \(MB\) (гипотенуза) и \(BD = a\) (катет, лежащий на плоскости). По определению косинуса угла: \(\cos\varphi = \frac{BD}{MB}\). Подставляя известное значение проекции, получаем: \(\cos\varphi = \frac{a}{MB}\). Отсюда выражаем длину наклонной: \(MB = \frac{a}{\cos\varphi}\). Это значит, что чтобы найти длину наклонной, нужно длину её проекции на плоскость разделить на косинус угла наклона.

Таким образом, оба ответа получаются через прямое применение тригонометрических функций к соответствующим элементам треугольника, возникающего при построении наклонной из точки к плоскости. В первом случае используется тангенс, потому что известны противолежащий катет и прилежащий катет, а во втором — косинус, потому что известна проекция (прилежащий катет) и требуется найти гипотенузу (наклонную). Формулы: \(BD = \frac{d}{\tan\varphi}\), \(MB = \frac{a}{\cos\varphi}\).