ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину угла, равного \(60^\circ\), проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол \(60^\circ\). Найдите косинус угла, который образует эта прямая с плоскостью данного угла.

Пусть угол между сторонами равен \(60^\circ\), а прямая образует с каждой стороной угол \(60^\circ\).
Введем координаты: пусть стороны — векторы \((1,0,0)\) и \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right).
Искомый вектор направлен так, что его скалярное произведение с каждым из этих векторов равно \(\frac{1}{2}\) (по определению косинуса угла).
Решая систему, получаем, что косинус угла между прямой и плоскостью равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Пусть вершина угла — точка \(O\), а стороны угла лежат в плоскости \(xOy\) и образуют между собой угол \(60^\circ\). Введём векторы: пусть одна сторона — вектор \((1,0,0)\), а другая — вектор \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right). Прямая, проходящая через вершину, образует с каждой стороной угол \(60^\circ\), то есть для её направляющего вектора \((x, y, z)\) выполняется: косинус угла между этим вектором и каждым из векторов сторон равен \(\frac{1}{2}\).

Это даёт систему: первое уравнение — \(x = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\), второе — \(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Примем длину вектора равной 1 (единичный вектор), тогда \(x = \frac{1}{2}\), а из второго уравнения получаем \(y = \frac{1}{2\sqrt{3}}\). Теперь находим \(z\) из нормировки: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\), то есть \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2} + z^{2} = 1\), отсюда \(z^{2} = 1 — \frac{1}{4} — \frac{1}{12} = \frac{2}{3}\), значит \(z = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Косинус угла между прямой и плоскостью — это синус угла между вектором и нормалью к плоскости (ось \(z\)), то есть \(\sin \alpha = \sqrt{1 — z^{2}}\). Подставляя найденное значение \(z^{2} = \frac{2}{3}\), получаем \(\sin \alpha = \sqrt{1 — \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Итоговый ответ: косинус искомого угла равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).