ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(CDD_1\), если \(AD = 5\) см, \(DC = 6\) см, \(DD_1 = 4\) см.

Пусть \(A_1(0,0,4)\), \(M(5,3,0)\), нормаль к плоскости \(CDD_1\) — вектор \((1,0,0)\).

Вектор \(A_1M = (5,3,-4)\).

Скалярное произведение: \(5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 = 5\).

Длина \(A_1M: \sqrt{5^2+3^2+(-4)^2} = \sqrt{50}\).

Длина нормали: \(1\).

\(\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{50}}\).

\(\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).

Для начала введём координаты всех точек. Пусть \(A(0,0,0)\), \(D(5,0,0)\), \(C(5,6,0)\), \(D_1(5,0,4)\), \(A_1(0,0,4)\), а точка \(M\) — середина отрезка \(CD\), её координаты вычисляются как \(M\left(\frac{5+5}{2}, \frac{6+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (5,3,0)\). Вектор \(A_1M\) равен разности координат: \(A_1M = (5-0, 3-0, 0-4) = (5,3,-4)\).

Плоскость \(CDD_1\) проходит через точки \(C(5,6,0)\), \(D(5,0,0)\) и \(D_1(5,0,4)\). Для нахождения нормали к этой плоскости возьмём два направляющих вектора: \(CD = (0,6,0)\) и \(DD_1 = (0,0,4)\). Их векторное произведение даёт нормаль: \((24,0,0)\), что эквивалентно единичному вектору вдоль оси \(x\), то есть нормаль можно взять как \((1,0,0)\).

Угол между прямой и плоскостью равен углу между вектором \(A_1M\) и нормалью к плоскости. Скалярное произведение этих векторов: \(5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 = 5\). Длина вектора \(A_1M\) равна \(\sqrt{5^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50}\), длина нормали — \(1\). Тогда косинус угла: \(\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{50}}\), отсюда \(\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).