ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(K\) — середина ребра \(AD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\), если \(AD = 2\sqrt{2}\) см, \(DC = 3\) см, \(DD_1 = 1\) см.

Точка \( K \) — середина ребра \( AD \), её координаты \( (\sqrt{2}, 0, 0) \).
Вектор \( \overrightarrow{C_1K} = (\sqrt{2} — 2\sqrt{2}, 0 — 3, 0 — 1) = (-\sqrt{2}, -3, -1) \).
Плоскость \( DAA_1 \) имеет нормаль \( (0, 2\sqrt{2}, 0) \).
Скалярное произведение \( \overrightarrow{C_1K} \cdot \overrightarrow{n} = -3 \cdot 2\sqrt{2} = -6\sqrt{2} \).
Длина \( \overrightarrow{C_1K} = \sqrt{2 + 9 + 1} = 2\sqrt{3} \), длина нормали \( 2\sqrt{2} \).
Косинус угла: \( \cos \alpha = \frac{6\sqrt{2}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Угол между прямой и нормалью \( 30^\circ \), значит угол между прямой и плоскостью \( 60^\circ \).

Рассмотрим координаты точек: \( C_1 \) имеет координаты \( (2\sqrt{2}, 3, 1) \), а \( K \), как середина ребра \( AD \), имеет координаты \( (\sqrt{2}, 0, 0) \). Вектор, задающий направление прямой \( C_1K \), равен разности координат: \( \overrightarrow{C_1K} = (\sqrt{2} — 2\sqrt{2}, 0 — 3, 0 — 1) = (-\sqrt{2}, -3, -1) \). Это направляющий вектор прямой.

Для определения угла между прямой и плоскостью нужно найти нормальный вектор плоскости \( DAA_1 \). Она проходит через точки \( D(2\sqrt{2}, 0, 0) \), \( A(0, 0, 0) \) и \( A_1(0, 0, 1) \). Векторы, лежащие в этой плоскости: \( \overrightarrow{DA} = (0 — 2\sqrt{2}, 0 — 0, 0 — 0) = (-2\sqrt{2}, 0, 0) \) и \( \overrightarrow{DA_1} = (0 — 2\sqrt{2}, 0 — 0, 1 — 0) = (-2\sqrt{2}, 0, 1) \). Векторное произведение этих двух векторов даст нормаль: \( \overrightarrow{n} = (0, 2\sqrt{2}, 0) \).

Далее вычисляем угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Скалярное произведение: \( \overrightarrow{C_1K} \cdot \overrightarrow{n} = (-\sqrt{2}) \cdot 0 + (-3) \cdot 2\sqrt{2} + (-1) \cdot 0 = -6\sqrt{2} \). Длина \( \overrightarrow{C_1K} \) равна \( \sqrt{(-\sqrt{2})^{2} + (-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2 + 9 + 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), а длина нормали \( \sqrt{0^{2} + (2\sqrt{2})^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). Тогда косинус угла между ними: \( \cos \alpha = \frac{|-6\sqrt{2}|}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{4\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это значит, что угол между направляющим вектором и нормалью равен \( \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^{\circ} \).

Поскольку угол между прямой и плоскостью определяется как дополнительный к углу между направлением прямой и нормалью к плоскости, получаем: \( 90^{\circ} — 30^{\circ} = 60^{\circ} \). Ответ: угол между прямой \( C_1K \) и плоскостью \( DAA_1 \) составляет \( 60^{\circ} \).