ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямой \(C_1D\) и плоскостью \(ACC_1\).

Введём сторону куба \(a\).
Точки: \(C_1(0,a,a)\), \(D(a,0,0)\).
Плоскость \(ACC_1\) задаётся уравнением \(y=0\).
Направляющий вектор прямой \(C_1D\): \(\vec{v} = (a, -a, -a)\).
Проекция \(\vec{v}\) на плоскость \(y=0\): \((a, 0, -a)\).
Найдём косинус угла:
\(\cos \alpha = \frac{(a, -a, -a) \cdot (a, 0, -a)}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} \cdot \sqrt{a^2 + 0 + a^2}} = \frac{a^2 + a^2}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\)
\(\alpha = \arccos \frac{2}{\sqrt{6}} = 30^\circ\)

Рассмотрим куб со стороной \(a\). Координаты точек \(C_1\) и \(D\) можно задать в декартовой системе так: \(C_1(0; a; a)\) — верхняя вершина куба, и \(D(a; 0; 0)\) — нижняя вершина. Прямая \(C_1D\) соединяет эти две точки, и её направляющий вектор равен разности координат: \(\vec{v} = (a — 0; 0 — a; 0 — a) = (a; -a; -a)\).

Плоскость \(ACC_1\) определяется тремя точками: \(A(0; 0; 0)\), \(C(a; a; 0)\) и \(C_1(0; a; a)\). Из этих точек видно, что плоскость проходит через ось \(x\) и параллельна оси \(z\) при фиксированном \(y = 0\). Уравнение плоскости можно записать как \(y = 0\), так как все точки плоскости имеют координату \(y\) равную либо \(0\), либо \(a\), но для плоскости \(ACC_1\) важна именно проекция на оси \(x\) и \(z\).

Для нахождения угла между прямой и плоскостью необходимо найти угол между направляющим вектором прямой \(\vec{v} = (a; -a; -a)\) и его проекцией на плоскость \(y = 0\). Проекция вектора \(\vec{v}\) на плоскость \(y = 0\) — это вектор с теми же координатами по осям \(x\) и \(z\), но с нулевой координатой по оси \(y\), то есть \(\vec{v}_{proj} = (a; 0; -a)\). Теперь найдём косинус угла между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{v}_{proj}\) по формуле скалярного произведения:

\(\cos \alpha = \frac{\vec{v} \cdot \vec{v}_{proj}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{v}_{proj}|} = \frac{a \cdot a + (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot (-a)}{\sqrt{a^{2} + (-a)^{2} + (-a)^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + 0 + (-a)^{2}}} = \frac{a^{2} + a^{2}}{\sqrt{3a^{2}} \cdot \sqrt{2a^{2}}} = \frac{2a^{2}}{a^{2} \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\).

Угол \(\alpha\) равен \(\arccos \frac{2}{\sqrt{6}}\), что упрощается до \(30^\circ\). Таким образом, угол между прямой \(C_1D\) и плоскостью \(ACC_1\) равен \(30^\circ\).