ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре \(BC\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(K\) так, что \(\angle BAK = 15^\circ\). Найдите косинус угла между прямыми \(AK\) и \(B_1D\).

Точка \(K\) лежит на ребре \(BC\), угол \(BAK = 15^\circ\). В кубе ребра равны, значит длина \(BC = 1\).

Координаты: \(A = (0,0,0)\), \(B = (1,0,0)\), \(C = (1,1,0)\), \(B_1 = (1,0,1)\), \(D = (0,1,0)\).

Точка \(K\) на \(BC\) с координатами \(K = (1,k,0)\).

Угол \(BAK = 15^\circ\) между векторами \(AB = (1,0,0)\) и \(AK = (1,k,0)\).

Косинус угла между \(AB\) и \(AK\) равен \(\cos 15^\circ = \frac{(AB \cdot AK)}{|AB||AK|} = \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\).

Отсюда \(\frac{1}{\sqrt{1+k^2}} = \cos 15^\circ\), значит \(k = \tan 15^\circ\).

Вектор \(AK = (1, \tan 15^\circ, 0)\).

Вектор \(B_1D = (-1,1, -1)\).

Косинус угла между \(AK\) и \(B_1D\) равен \(\frac{AK \cdot B_1D}{|AK||B_1D|} = \frac{-1 + \tan 15^\circ + 0}{\sqrt{1 + \tan^2 15^\circ} \sqrt{3}} = \frac{-1 + \tan 15^\circ}{\sqrt{3}}\).

Подставляя \(\tan 15^\circ = 2 — \sqrt{3}\), получаем

\(\cos(\text{угла между } AK \text{ и } B_1D) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Ответ: \(\cos(\text{угла между } AK \text{ и } B_1D) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Куб задан с вершинами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\). Рассмотрим систему координат, где \(A = (0,0,0)\), \(B = (1,0,0)\), \(C = (1,1,0)\), \(D = (0,1,0)\), \(A_1 = (0,0,1)\), \(B_1 = (1,0,1)\), \(C_1 = (1,1,1)\), \(D_1 = (0,1,1)\). Ребро \(BC\) лежит вдоль оси \(y\) от точки \(B\) к точке \(C\), значит точка \(K\) на ребре \(BC\) имеет координаты \(K = (1,k,0)\), где \(k\) — параметр от 0 до 1.

Из условия известно, что угол \(BAK = 15^\circ\). Вектор \(AB\) имеет координаты \((1,0,0)\), а вектор \(AK = (1,k,0)\). Косинус угла между векторами \(AB\) и \(AK\) равен \(\cos 15^\circ\) и вычисляется по формуле скалярного произведения: \(\cos 15^\circ = \frac{AB \cdot AK}{|AB||AK|} = \frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}\). Отсюда следует, что \(\frac{1}{\sqrt{1 + k^2}} = \cos 15^\circ\), значит \(k = \tan 15^\circ\).

Вектор \(AK\) теперь равен \((1, \tan 15^\circ, 0)\). Вектор \(B_1D\) направлен от точки \(B_1 = (1,0,1)\) к точке \(D = (0,1,0)\), поэтому \(B_1D = (-1,1,-1)\). Чтобы найти косинус угла между прямыми \(AK\) и \(B_1D\), вычислим косинус угла между векторами \(AK\) и \(B_1D\) по формуле \(\cos \theta = \frac{AK \cdot B_1D}{|AK||B_1D|}\). Скалярное произведение равно \(-1 + \tan 15^\circ + 0 = -1 + \tan 15^\circ\). Длина вектора \(AK\) равна \(\sqrt{1 + \tan^2 15^\circ}\), а длина \(B_1D\) равна \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\).

Подставляя значения, получаем \(\cos \theta = \frac{-1 + \tan 15^\circ}{\sqrt{3} \sqrt{1 + \tan^2 15^\circ}}\). Известно, что \(\tan 15^\circ = 2 — \sqrt{3}\), а \(\sqrt{1 + \tan^2 15^\circ} = \frac{1}{\cos 15^\circ}\). Подставляя эти значения, выражение упрощается до \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Ответ: \(\cos(\text{угла между } AK \text{ и } B_1D) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).