ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На продолжении ребра \(CB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) за точку \(B\) отметили точку \(M\) так, что \(\angle BAM = 15^\circ\). Найдите косинус угла между прямыми \(AM\) и \(D_1B\).

Точка \(M\) лежит на продолжении ребра \(CB\), значит \(M = (1, y, 0)\), где \(y < 0\). Угол \(\angle BAM = 15^\circ\) даёт уравнение \(\cos 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}\), откуда \(y = -\tan 15^\circ\).

Вектор \(AM = (1, -\tan 15^\circ, 0)\), вектор \(D_1B = (1, 0, -1)\).

Косинус угла между \(AM\) и \(D_1B\) равен \(\frac{AM \cdot D_1B}{|AM||D_1B|} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 15^\circ} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\cos 15^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}=\)
\( = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}\).

Ответ: \(\cos \angle (AM, D_1B) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}\).

Точка \(M\) лежит на продолжении ребра \(CB\) за точку \(B\), значит её координаты можно представить как \(M = (1, y, 0)\), где \(y < 0\), так как ребро \(CB\) идёт от \(C(1,1,0)\) к \(B(1,0,0)\). Продолжение ребра за \(B\) значит, что \(y\) меньше нуля. Для определения точного значения \(y\) используем условие угла \(\angle BAM = 15^\circ\). Векторы \( \overrightarrow{AB} = (1, 0, 0) \) и \( \overrightarrow{AM} = (1, y, 0) \). Косинус угла между ними равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин, то есть \(\cos 15^\circ = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}}{|AB||AM|} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}\). Отсюда следует, что \(\sqrt{1 + y^2} = \frac{1}{\cos 15^\circ}\), а значит \(y^2 = \frac{1}{\cos^2 15^\circ} — 1 = \tan^2 15^\circ\). Поскольку \(y < 0\), получаем \(y = -\tan 15^\circ\).

Теперь найдём косинус угла между прямыми \(AM\) и \(D_1B\). Вектор \( \overrightarrow{AM} = (1, -\tan 15^\circ, 0) \), а вектор \( \overrightarrow{D_1B} = B — D_1 = (1, 0, -1) \). Косинус угла между двумя векторами определяется как \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{D_1B}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{D_1B}|}\). Скалярное произведение равно \(1 \cdot 1 + (-\tan 15^\circ) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 1\). Длины векторов: \(|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{1 + \tan^2 15^\circ} = \frac{1}{\cos 15^\circ}\), а \(|\overrightarrow{D_1B}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\). Подставляем в формулу: \(\cos \theta = \frac{1}{\frac{1}{\cos 15^\circ} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\cos 15^\circ}{\sqrt{2}}\).

Используя известное значение \(\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), получаем \(\cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}\). Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, получаем \(\cos \theta = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{8} = \frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}\). Таким образом, окончательный ответ: \(\cos \angle (AM, D_1B) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}\).