ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(AB_1 = AD = 2AA_1\). Найдите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(C_1A\).

Пусть \(AA_1 = h\), тогда \(AD = 2h\), \(AB_1 = AD = 2h\), \(AB = b\).

Векторы: \(\vec{AB_1} = (b, 0, h)\), \(\vec{BD_1} = (-b, 2h, h)\).

Скалярное произведение: \(\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = -b^2 + h^2\).

Длины: \(|\vec{AB_1}| = \sqrt{b^2 + h^2} = 2h\), \(|\vec{BD_1}| = \sqrt{b^2 + 5h^2} = 2\sqrt{2} h\).

Из равенства \(\sqrt{b^2 + h^2} = 2h\) получаем \(b^2 = 3h^2\).

Подставляем: \(\cos \theta = \frac{-3h^2 + h^2}{2h \cdot 2\sqrt{2} h} = \frac{-2h^2}{4\sqrt{2} h^2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, в котором \(AA_1 = h\), \(AD = 2h\), и \(AB_1 = AD = 2h\). Обозначим \(AB = b\). Для нахождения косинуса угла между прямыми \(AB_1\) и \(BD_1\) нужно определить координаты точек и построить соответствующие векторы. Введём систему координат с началом в точке \(A\), тогда \(B_1\) имеет координаты \((b, 0, h)\), а \(D_1\) — \((0, 2h, h)\). Вектор \(\vec{AB_1}\) равен \((b, 0, h)\), а вектор \(\vec{BD_1}\) равен \(D_1 — B = (-b, 2h, h)\).

Для вычисления косинуса угла между векторами используем формулу скалярного произведения: \(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\). Скалярное произведение векторов \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{BD_1}\) равно \(b \cdot (-b) + 0 \cdot 2h + h \cdot h = -b^{2} + h^{2}\). Длины векторов вычисляются по формуле длины: \(|\vec{AB_1}| = \sqrt{b^{2} + h^{2}}\), \(|\vec{BD_1}| = \sqrt{b^{2} + (2h)^{2} + h^{2}} = \sqrt{b^{2} + 5h^{2}}\).

Из условия \(AB_1 = 2h\) следует, что длина вектора \(\vec{AB_1}\) равна \(2h\), то есть \(\sqrt{b^{2} + h^{2}} = 2h\). Возводя обе части в квадрат, получаем \(b^{2} + h^{2} = 4h^{2}\), откуда \(b^{2} = 3h^{2}\). Подставляем это значение в формулы для скалярного произведения и длин: скалярное произведение становится \(-3h^{2} + h^{2} = -2h^{2}\), длина \(|\vec{AB_1}| = 2h\), а длина \(|\vec{BD_1}| = \sqrt{3h^{2} + 5h^{2}} = \sqrt{8h^{2}} = 2\sqrt{2} h\).

Подставляя все значения в формулу косинуса, имеем \(\cos \theta = \frac{-2h^{2}}{2h \cdot 2\sqrt{2} h} = \frac{-2h^{2}}{4\sqrt{2} h^{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\). По модулю это равно \(\frac{\sqrt{2}}{4}\), что и является искомым значением косинуса угла между прямыми \(AB_1\) и \(BD_1\).