ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(AD\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Отрезки \(AM\) и \(BK\) — высоты остроугольного треугольника \(ABC\). Известно, что \(\angle ACB = 45^\circ\), \(AD = 4\) см, \(AC = 4\sqrt{2}\) см. Найдите угол между прямыми \(BK\) и \(DM\).

Ребро \(AD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит \(AD \perp AM\) и \(AD \perp BK\). Высоты \(AM\) и \(BK\) лежат в плоскости \(ABC\).

Так как \(AM\) и \(BK\) — высоты, они перпендикулярны соответствующим сторонам. Угол \(ACB = 45^\circ\), \(AD = 4\), \(AC = 4\sqrt{2}\).

Вектор \(DM\) перпендикулярен \(AM\), так как \(D\) над плоскостью \(ABC\) и \(M\) лежит на \(BC\).

Угол между \(BK\) и \(DM\) равен углу между высотой \(BK\) и направлением \(DM\).

По расчетам угол равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Тетраэдр \(DABC\) имеет ребро \(AD\), перпендикулярное плоскости \(ABC\), следовательно, \(AD \perp AM\) и \(AD \perp BK\), так как \(AM\) и \(BK\) лежат в плоскости \(ABC\). Высоты \(AM\) и \(BK\) перпендикулярны сторонам \(BC\) и \(AC\) соответственно. Из условия известно, что угол \(ACB = 45^\circ\), длина \(AD = 4\) см, а \(AC = 4\sqrt{2}\) см. Это позволяет определить взаимное расположение точек и векторов в пространстве.

Высота \(AM\) опущена на сторону \(BC\), а \(BK\) — на сторону \(AC\). Поскольку \(AD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), вектор \(AD\) направлен вертикально относительно плоскости треугольника. Точки \(M\) и \(K\) лежат на сторонах \(BC\) и \(AC\) соответственно, следовательно, векторы \(DM\) и \(BK\) образуют некоторый угол в пространстве. Для нахождения этого угла необходимо рассмотреть проекции и взаимные углы между векторами, учитывая перпендикулярность и длины сторон.

В результате вычислений и использования свойств высот и перпендикулярности получается, что угол между прямыми \(BK\) и \(DM\) равен \(60^\circ\). Это связано с тем, что высоты треугольника и вертикальное ребро \(AD\) задают пространственную ориентацию, при которой искомый угол определяется через известные длины и угол \(45^\circ\) в основании. Таким образом, искомый угол равен \(60^\circ\).