ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью \(\alpha\), если расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\): 1) равно проекции наклонной на плоскость \(c\); 2) в два раза меньше самой наклонной?

1) Пусть наклонная \(AB\), её проекция на плоскость \(CB\). По условию \(AB = CB\). Тогда угол между наклонной и плоскостью равен \(45^\circ\), так как в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе только при угле \(45^\circ\).

2) Пусть наклонная \(AB\), её проекция на плоскость \(CB = \frac{1}{2} AB\). Тогда угол между наклонной и плоскостью равен \(30^\circ\), так как в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы только при угле \(30^\circ\).

В первом случае пусть точка \(A\) расположена вне плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) — точка на плоскости. Отрезок \(AB\) — наклонная, а \(CB\) — её проекция на плоскость, где \(C\) — основание перпендикуляра из точки \(A\) на плоскость. По условию \(AB = CB\), то есть длина наклонной равна длине её проекции. В треугольнике \(ACB\) угол \(ACB\) — это угол между наклонной и плоскостью. В прямоугольном треугольнике, если катет равен гипотенузе, то угол между ними равен \(45^\circ\), потому что по определению синуса: \(\sin \theta = \frac{CB}{AB}\). Если \(\frac{CB}{AB} = 1\), то \(\theta = 45^\circ\).

Во втором случае наклонная \(AB\) также соединяет точку \(A\) вне плоскости и точку \(B\) на плоскости, а \(CB\) — проекция наклонной на плоскость. По условию длина проекции в два раза меньше длины наклонной, то есть \(CB = \frac{1}{2} AB\). В прямоугольном треугольнике \(ACB\), где \(AC\) — высота, \(AB\) — наклонная, а \(CB\) — проекция, угол между наклонной и плоскостью определяется по формуле синуса: \(\sin \theta = \frac{CB}{AB}\). Если \(\frac{CB}{AB} = \frac{1}{2}\), то \(\theta = 30^\circ\), так как синус \(30^\circ\) равен \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, в первом случае, когда длина наклонной равна длине её проекции, угол между наклонной и плоскостью составляет \(45^\circ\). Во втором случае, если длина проекции в два раза меньше длины наклонной, угол между наклонной и плоскостью будет \(30^\circ\), что следует из тригонометрических свойств прямоугольного треугольника, где отношение катета к гипотенузе определяет синус соответствующего угла.