ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Перпендикулярные прямые \(a\) и \(b\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Прямая \(t\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(y\), с прямыми \(a\) и \(b\) — углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Докажите, что \(cos^2 y = cos^2 \alpha + cos^2 \beta\).

Пусть \(n\) — проекция прямой \(t\) на плоскость \(\alpha\).

Тогда угол между \(a\) и \(n\) равен \(\varphi\), а угол между \(n\) и \(b\) равен \(90^\circ — \varphi\).

Из определения угла между \(t\) и плоскостью \(\alpha\) следует, что угол между \(t\) и \(n\) равен \(y\).

По теореме косинусов для проекций:
\(\cos \alpha = \cos \varphi \cos y\),
\(\cos \beta = \sin \varphi \cos y\).

Возводя в квадрат и складывая:
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \cos^2 \varphi \cos^2 y + \sin^2 \varphi \cos^2 y = (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) \cos^2 y =\)
\(= \cos^2 y\).

Таким образом,
\(\cos^2 y = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta\).

Пусть \(t\) — данная прямая, а \(a\) и \(b\) — две перпендикулярные прямые, лежащие в плоскости \(\alpha\). Обозначим через \(n\) проекцию прямой \(t\) на плоскость \(\alpha\). По определению, угол \(y\) между прямой \(t\) и плоскостью \(\alpha\) равен углу между \(t\) и её проекцией \(n\). Таким образом, угол \(y\) — это угол между \(t\) и \(n\).

Угол между прямой \(t\) и прямой \(a\) равен \(\alpha\), а угол между \(t\) и прямой \(b\) равен \(\beta\). Поскольку \(a\) и \(b\) перпендикулярны, угол между ними равен \(90^\circ\). Пусть угол между проекцией \(n\) и прямой \(a\) равен \(\varphi\), тогда угол между \(n\) и \(b\) равен \(90^\circ — \varphi\). Рассмотрим проекции вектора, направленного вдоль \(t\), на направления \(a\) и \(b\).

Угол \(\alpha\) между \(t\) и \(a\) можно выразить через угол \(\varphi\) и угол \(y\) как \(\cos \alpha = \cos \varphi \cos y\), так как проекция вдоль \(a\) равна произведению проекции \(t\) на плоскость \(\alpha\) (то есть на \(n\)) и проекции \(n\) на \(a\). Аналогично, угол \(\beta\) между \(t\) и \(b\) выражается как \(\cos \beta = \sin \varphi \cos y\). Здесь \(\sin \varphi\) появляется, потому что угол между \(n\) и \(b\) равен \(90^\circ — \varphi\), а косинус этого угла равен синусу \(\varphi\).

Возводя обе формулы в квадрат и складывая, получаем: \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \cos^2 \varphi \cos^2 y + \sin^2 \varphi \cos^2 y = (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) \cos^2 y\). Так как \(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1\), итоговое выражение принимает вид \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \cos^2 y\). Это и доказывает искомое равенство.