ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(DC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(\angle ADB = 90^\circ\), \(AC = CD = 1\) см, \(BC = 3\) см. Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(ADB\).

Ребро \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит расстояние от точки \(C\) до плоскости \(ADB\) равно длине перпендикуляра из \(C\) на \(DB\).

Так как \(\angle ADB = 90^\circ\), то \(DB \perp AD\), и проекция \(C\) на \(DB\) лежит на середине \(CO\), где \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\).

Длина перпендикуляра \(CM = \frac{1}{2} CO = 0.5\) см.

Ответ: расстояние равно \(0.5\) см.

Тетраэдр \(DABC\) имеет ребро \(DC\), перпендикулярное плоскости \(ABC\), что означает, что вектор \(DC\) направлен строго вверх к плоскости, образованной точками \(A\), \(B\) и \(C\). Это ключевое условие, так как оно позволяет рассматривать расстояние от точки \(C\) до плоскости \(ADB\) как длину перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) на эту плоскость. Поскольку \(DC \perp ABC\), то \(DC\) является высотой, проведённой из точки \(D\) к плоскости \(ABC\).

Следующее важное условие — угол \( \angle ADB = 90^\circ \), то есть ребра \(AD\) и \(DB\) взаимно перпендикулярны. Вследствие этого плоскость \(ADB\) содержит прямой угол между \(AD\) и \(DB\), что упрощает вычисление расстояния от точки \(C\) до этой плоскости. Поскольку \(DB \perp AD\), можно рассмотреть проекцию точки \(C\) на ребро \(DB\), чтобы найти точку основания перпендикуляра из \(C\) на плоскость \(ADB\). Эта точка будет лежать на отрезке \(DB\), и длина перпендикуляра \(CK\) равна расстоянию от \(C\) до плоскости \(ADB\).

Длины сторон заданы: \(AC = CD = 1\) см, \(BC = \sqrt{3}\) см. Из геометрии треугольника \(ABC\) и условия перпендикулярности ребра \(DC\) к плоскости \(ABC\) следует, что точка \(C\) находится на определённом расстоянии от плоскости \(ADB\), равном длине отрезка \(CM\), где \(M\) — середина \(CO\), а \(O\) — основание перпендикуляра из \(D\) на \(ABC\). Вычисления показывают, что \(CM = \frac{1}{2} CO = 0.5\) см, что и является искомым расстоянием от точки \(C\) до плоскости \(ADB\).

Ответ: расстояние равно \(0.5\) см.