ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(A\) проведены прямые, касающиеся окружности радиусом \(4\) см в точках \(B\) и \(C\). Угол \(BAC\) равен \(60^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Дано: радиус окружности \(4\), угол при вершине \(60^\circ\), касательные \(AB = AC\).

По свойству касательных из одной точки \(AB = AC\).

В треугольнике \(AOB\) угол при \(B\) прямой, значит \(\tan 60^\circ = \frac{BO}{AB}\).

Подставляем: \(\sqrt{3} = \frac{4}{AB}\), откуда \(AB = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), у которого точки \(B\) и \(C\) касаются окружности радиуса \(4\), а угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\). Известно, что касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, значит \(AB = AC\). Это важное свойство позволяет нам упростить вычисления, так как треугольник \(ABC\) окажется равнобедренным.

Далее рассмотрим треугольник \(AOB\), где \(O\) — центр окружности. Поскольку \(OB\) — радиус окружности, он равен \(4\). Точка касания \(B\) лежит на окружности, а касательная в точке \(B\) перпендикулярна радиусу \(OB\), следовательно угол \(OB\) при вершине \(B\) равен \(90^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике можно записать отношение тангенса угла \(60^\circ\) через катеты: \(\tan 60^\circ = \frac{BO}{AB}\). Подставляя известные значения, получаем \(\sqrt{3} = \frac{4}{AB}\), откуда следует, что \(AB = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Теперь вычислим площадь треугольника \(ABC\). Она равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ\). Поскольку \(AB = AC = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\), подставим эти значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Упростим выражение: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{16 \cdot 3}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{48}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{24 \sqrt{3}}{9} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}\). Таким образом, площадь треугольника равна \( \frac{8 \sqrt{3}}{3} \).