ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Медианы треугольника равны \(6\) см, \(10\) см и \(4\sqrt{5}\) см. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Даны медианы \(m_a=6\), \(m_b=10\), \(m_c=4\sqrt{5}\).

Используем формулы для медиан:
\(m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}\),
\(m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 — b^2}{4}\),
\(m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\).

Подставляем значения:
\(36 = \frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}\),
\(100 = \frac{2a^2 + 2c^2 — b^2}{4}\),
\(80 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\).

Умножаем на 4:
\(144 = 2b^2 + 2c^2 — a^2\),
\(400 = 2a^2 + 2c^2 — b^2\),
\(320 = 2a^2 + 2b^2 — c^2\).

Складываем:
\(144 + 400 + 320 = (2b^2 + 2c^2 — a^2) + (2a^2 + 2c^2 — b^2) + (2a^2 + 2b^2 — c^2)\),
\(864 = 3(a^2 + b^2 + c^2)\),
откуда \(a^2 + b^2 + c^2 = 288\).

Из первого уравнения:
\(a^2 = 2b^2 + 2c^2 — 144\).

Подставляем в сумму:
\(a^2 + b^2 + c^2 = (2b^2 + 2c^2 — 144) + b^2 + c^2 = 3b^2 + 3c^2 — 144 = 288\),
отсюда \(b^2 + c^2 = 144\).

Тогда
\(a^2 = 2(b^2 + c^2) — 144 = 2 \cdot 144 — 144 = 144\).

Получаем \(a^2 = b^2 + c^2\), значит треугольник прямоугольный.

Даны медианы треугольника \(m_a = 6\), \(m_b = 10\), \(m_c = 4\sqrt{5}\). Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Обозначим стороны треугольника как \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\). Известно, что длина медианы, проведённой к стороне \(a\), вычисляется по формуле \(m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}\). Аналогично для медиан \(m_b\) и \(m_c\) справедливы формулы \(m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 — b^2}{4}\) и \(m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\).

Подставим известные значения медиан в эти формулы. Для медианы \(m_a\) получаем \(36 = \frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4}\), откуда умножением обеих частей на 4 следует \(144 = 2b^2 + 2c^2 — a^2\). Для медианы \(m_b\) имеем \(100 = \frac{2a^2 + 2c^2 — b^2}{4}\), что даёт \(400 = 2a^2 + 2c^2 — b^2\). Для медианы \(m_c\) подставляем \(80 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\), откуда \(320 = 2a^2 + 2b^2 — c^2\).

Сложим все три уравнения: \(144 + 400 + 320 = (2b^2 + 2c^2 — a^2) + (2a^2 + 2c^2 — b^2) + (2a^2 + 2b^2 — c^2)\). Левая часть равна \(864\). В правой части сгруппируем одинаковые члены: \(2b^2 — b^2 + 2b^2 = 3b^2\), \(2c^2 + 2c^2 — c^2 = 3c^2\), \(-a^2 + 2a^2 + 2a^2 = 3a^2\). Таким образом, получаем \(3(a^2 + b^2 + c^2) = 864\), что даёт \(a^2 + b^2 + c^2 = 288\).

Из первого уравнения выразим \(a^2\): \(a^2 = 2b^2 + 2c^2 — 144\). Подставим это в сумму \(a^2 + b^2 + c^2 = 288\), получая \((2b^2 + 2c^2 — 144) + b^2 + c^2 = 288\), то есть \(3b^2 + 3c^2 — 144 = 288\). Переносим числа: \(3b^2 + 3c^2 = 432\), значит \(b^2 + c^2 = 144\). Теперь найдём \(a^2\) через \(b^2 + c^2\): \(a^2 = 2(b^2 + c^2) — 144 = 2 \cdot 144 — 144 = 144\).

Итог: \(a^2 = 144\) и \(b^2 + c^2 = 144\), то есть \(a^2 = b^2 + c^2\). Это равенство является условием прямоугольного треугольника с гипотенузой \(a\), следовательно, треугольник с заданными медианами является прямоугольным.