ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сколько наклонных, образующих с плоскостью \(\alpha\) угол \(40^\circ\), можно провести из точки \(A\), не принадлежащей этой плоскости?

Из точки \(A\), не лежащей в плоскости \(\alpha\), можно провести бесконечно много наклонных, образующих с плоскостью угол \(40^\circ\), потому что вокруг прямой, перпендикулярной к плоскости, можно построить множество таких наклонных с одинаковым углом наклона.

Пусть точка \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Проведём из \(A\) перпендикуляр \(AO\) к плоскости \(\alpha\), где точка \(O\) — основание перпендикуляра. Любая наклонная из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) будет пересекать плоскость в некоторой точке \(B\), и образует угол с плоскостью. Угол между наклонной \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) определяется как угол между наклонной \(AB\) и её проекцией \(OB\) на плоскость \(\alpha\).

Пусть требуется провести наклонные, образующие с плоскостью угол \(40^\circ\). Для этого рассмотрим все точки \(B\) на плоскости \(\alpha\), такие что угол между \(AB\) и \(OB\) равен \(40^\circ\). Если рассмотреть все возможные направления, в которых можно провести наклонную из точки \(A\) так, чтобы угол наклона был равен \(40^\circ\), то таких направлений будет бесконечно много, потому что вокруг оси \(AO\) можно вращать наклонную, сохраняя угол между наклонной и плоскостью постоянным.

Геометрически множество всех таких наклонных из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) образует поверхность конуса с вершиной в точке \(A\) и углом при вершине \(80^\circ\), так как угол между осью конуса (перпендикуляром) и образующей конуса равен \(40^\circ\). Каждая образующая этого конуса будет наклонной, образующей с плоскостью \(\alpha\) угол \(40^\circ\). Так как на этой поверхности лежит бесконечно много прямых, то и наклонных, удовлетворяющих условию, также бесконечно много.