ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между прямой и плоскостью равен \(35^\circ\). Может ли данная прямая образовать с некоторой прямой данной плоскости угол: 1) \(30^\circ\); 2) \(50^\circ\)?

Угол между прямой и плоскостью равен \(35^\circ\). Угол между данной прямой и любой прямой плоскости не может быть меньше \(35^\circ\).

1) \(30^\circ < 35^\circ\), поэтому такой угол невозможен.

2) \(50^\circ > 35^\circ\), такой угол возможен.

Рассмотрим, что угол между прямой и плоскостью, обозначим его как \(\alpha\), равен \(35^\circ\). Этот угол \(\alpha\) определяется как наименьший угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Если взять любую прямую, лежащую в плоскости, то угол между исходной прямой и этой прямой всегда будет не меньше \(\alpha\), потому что проекция исходной прямой на плоскость даёт как раз минимальный возможный угол. То есть, если обозначить угол между исходной прямой и произвольной прямой плоскости как \(\beta\), то выполняется неравенство: \(\beta \geq \alpha\).

Проверим возможность образования указанных углов. Для угла \(30^\circ\): \(\beta = 30^\circ\). Поскольку \(\alpha = 35^\circ\), то \(30^\circ < 35^\circ\), следовательно, угол между данной прямой и любой прямой плоскости не может быть равен \(30^\circ\), так как это противоречит геометрическому смыслу угла между прямой и плоскостью. Таким образом, ответ для первого случая — невозможен.

Для угла \(50^\circ\): \(\beta = 50^\circ\). Здесь \(50^\circ > 35^\circ\), то есть такой угол может быть реализован, если выбрать подходящую прямую в плоскости, которая не совпадает с проекцией исходной прямой. В этом случае угол между исходной прямой и выбранной прямой плоскости может быть больше минимального угла \(\alpha\), но не превышать \(90^\circ\). Поэтому ответ для второго случая — возможен.