ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\) (рис. 13.9), сторона которого равна \(6\) см. Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Найдите угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\), если \(MA = 2\) см.

В правильном треугольнике \(AO = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) см.

По определению угла между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\), \(\tan \alpha = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(\alpha = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ\).

В правильном треугольнике \(ABC\) все стороны равны \(6\) см, а центр \(O\) находится на пересечении медиан. Длина медианы из вершины \(A\) равна \(m = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}\) см, но расстояние от вершины до центра треугольника (точки пересечения медиан) составляет треть медианы, то есть \(AO = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\) см. Однако, для правильного треугольника расстояние от вершины до центра можно также выразить через радиус описанной окружности, который равен \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), и тогда \(AO = R = 2\sqrt{3}\) см.

Точка \(M\) расположена над плоскостью треугольника так, что \(MA\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и \(MA = 2\) см. Прямая \(MO\) соединяет точку \(M\) и центр треугольника \(O\). Для нахождения угла между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) рассмотрим треугольник \(MAO\), где \(MA\) — высота, а \(AO\) — основание. Угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(MO\) и проекцией \(MO\) на плоскость, то есть углу при вершине \(A\) в треугольнике \(MAO\).

Запишем тангенс этого угла: \(\tan \alpha = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда сам угол равен \(\alpha = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\). Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что \(\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ\).