ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.

Дано: равные наклонные \( AB = DC \) проведены из одной точки к плоскости.

Основания наклонных \( BH = CH \), отрезки \( AH = DH \) общие.

По двум сторонам и углу между ними треугольники \( ABH \) и \( DCH \) равны.

Следовательно, углы наклонных с плоскостью равны: \( \angle ABH = \angle DCH \).

Пусть из точки \( A \) к плоскости проведены две наклонные \( AB \) и \( DC \), причем \( AB = DC \). Их основания на плоскости обозначим как точки \( B \) и \( C \), а из точки \( A \) опустим перпендикуляр \( AH \) на плоскость, где \( H \) — основание перпендикуляра. Тогда \( BH \) и \( CH \) — отрезки на плоскости между основаниями наклонных и основанием перпендикуляра.

Рассмотрим треугольники \( ABH \) и \( DCH \). В них по условию \( AB = DC \). Также отрезок \( AH \) является общим для обоих треугольников. Кроме того, по построению \( BH = CH \), так как основания наклонных равноудалены от основания перпендикуляра, иначе наклонные не были бы равны. Таким образом, в треугольниках \( ABH \) и \( DCH \) равны две стороны и угол между ними.

По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) имеем: \( \triangle ABH = \triangle DCH \). Следовательно, соответствующие углы этих треугольников тоже равны, то есть угол между наклонной \( AB \) и плоскостью (это угол \( ABH \)) равен углу между наклонной \( DC \) и плоскостью (это угол \( DCH \)), то есть \( \angle ABH = \angle DCH \).

Таким образом, если из одной точки к плоскости проведены равные наклонные, то углы между этими наклонными и плоскостью равны, что и требовалось доказать.