ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) лежат в разных плоскостях (рис. 14.21), причём прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если \(\angle ACD = 90^\circ\), \(BC = 6\) см, \(CD = 12\) см.

Дано: \(BD \perp \text{плоскости } ABC\), \(\angle ACD = 90^\circ\), \(BC = 6\), \(CD = 12\).

Треугольник \(BCD\) прямоугольный с катетами \(BC = 6\) и \(CD = 12\).

Нормаль к плоскости \(ABC\) направлена вдоль \(BD\).

Нормаль к плоскости \(ACD\) перпендикулярна \(AC\) и \(CD\), образует угол с \(BD\).

Угол между нормалями равен углу между векторами \(BD\) и плоскостью \(ACD\).

Вычисляя угол, получаем \(\angle = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Плоскость \(ABC\) перпендикулярна прямой \(BD\), следовательно, вектор \(BD\) является нормалью к плоскости \(ABC\). Это означает, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(ACD\) равен углу между вектором \(BD\) и нормалью к плоскости \(ACD\). Для нахождения двугранного угла нужно определить угол между этими двумя нормалями.

В плоскости \(ACD\) угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), то есть стороны \(AC\) и \(CD\) перпендикулярны. Значит, векторное произведение векторов \(AC\) и \(CD\) даст нормаль к плоскости \(ACD\). Рассмотрим треугольник \(BCD\), где \(BC = 6\) и \(CD = 12\) см. Так как \(\angle BCD = 90^\circ\), треугольник \(BCD\) прямоугольный, и длина гипотенузы \(BD\) равна \(BD = \sqrt{BC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\).

Вектор \(BD\) направлен из точки \(B\) в точку \(D\), и нормаль к плоскости \(ACD\) направлена перпендикулярно к векторам \(AC\) и \(CD\). Угол между нормалями равен углу между вектором \(BD\) и нормалью к \(ACD\). Используя соотношения в прямоугольном треугольнике и свойства векторного произведения, получаем, что угол между плоскостями равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).