ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны плоскость \(\alpha\) и параллельная ей прямая \(a\). Сколько плоскостей можно провести через прямую \(a\) таких, что угол \(\varphi\) между плоскостью \(\alpha\) и проведённой плоскостью удовлетворяет условию: 1) \(\varphi = 90^\circ\); 2) \(\varphi = 0^\circ\); 3) \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\)?

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), значит через \(a\) можно провести множество плоскостей, поворачивая их вокруг \(a\).

Если угол \(\varphi = 90^\circ\), то плоскость должна быть перпендикулярна \(\alpha\). Через \(a\) существует только одна такая плоскость.

Если \(\varphi = 0^\circ\), то плоскость совпадает с \(\alpha\) или параллельна ей, проходя через \(a\). Таких плоскостей тоже ровно одна.

Если \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), то таких плоскостей бесконечно много, так как можно плавно менять угол между 0 и 90 градусами, поворачивая плоскость вокруг \(a\).

Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) бесконечно много.

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), значит угол между ними равен \(0^\circ\). Через прямую \(a\) можно провести множество плоскостей, поскольку вокруг прямой можно вращать плоскость, меняя её наклон относительно плоскости \(\alpha\). При этом угол \(\varphi\) между плоскостью и \(\alpha\) будет меняться от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

Если угол \(\varphi = 90^\circ\), то плоскость должна быть перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Через прямую \(a\) существует ровно одна такая плоскость, так как для заданной прямой в пространстве существует единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Это связано с тем, что плоскость, перпендикулярная \(\alpha\), должна содержать направление, перпендикулярное \(\alpha\), а так как \(a\) параллельна \(\alpha\), то единственная плоскость с углом \(90^\circ\) к \(\alpha\), проходящая через \(a\), — это та, которая содержит \(a\) и направление перпендикулярное \(\alpha\).

Если угол \(\varphi = 0^\circ\), то плоскость совпадает с плоскостью \(\alpha\) или параллельна ей. Поскольку \(a\) параллельна \(\alpha\), то плоскость, проходящая через \(a\) и параллельная \(\alpha\), совпадает с \(\alpha\), и таких плоскостей ровно одна. Невозможно провести другую плоскость через \(a\), которая была бы параллельна \(\alpha\), но отличалась от неё, так как они должны совпадать по направлению и содержать \(a\).

Для углов \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\) существует бесконечное множество плоскостей. Это объясняется тем, что вокруг прямой \(a\) можно вращать плоскость, изменяя угол между ней и \(\alpha\) плавно от \(0^\circ\) до \(90^\circ\). Каждое значение угла в этом промежутке соответствует уникальной плоскости, проходящей через \(a\). Таким образом, количество таких плоскостей бесконечно.

Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) бесконечно много.