ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости равностороннего треугольника \(ABC\) (рис. 14.22). Найдите угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\).

Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), значит он перпендикулярен к сторонам \(AB\) и \(CB\).

Угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(CB\) в плоскости \(ABC\).

Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, угол \(ABC\) равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), что означает, что он перпендикулярен ко всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку \(B\). В частности, \(MB\) перпендикулярен к сторонам \(AB\) и \(CB\), так как они лежат в плоскости \(ABC\) и проходят через вершину \(B\). Это ключевое свойство позволяет рассмотреть угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) через углы между соответствующими прямыми в плоскости \(ABC\).

Плоскости \(ABM\) и \(CBM\) имеют общую прямую \(BM\). Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормаль к плоскости \(ABM\) перпендикулярна к прямым \(AB\) и \(MB\), а нормаль к плоскости \(CBM\) перпендикулярна к прямым \(CB\) и \(MB\). Поскольку \(MB\) перпендикулярен и к \(AB\), и к \(CB\), нормали к плоскостям \(ABM\) и \(CBM\) лежат в плоскости \(ABC\) и перпендикулярны к \(AB\) и \(CB\) соответственно. Таким образом, угол между плоскостями совпадает с углом между прямыми \(AB\) и \(CB\) в плоскости \(ABC\).

Треугольник \(ABC\) равносторонний, значит все его углы равны \(60^\circ\). Следовательно, угол между сторонами \(AB\) и \(CB\) равен \(60^\circ\). Отсюда следует, что искомый угол между плоскостями \(ABM\) и \(CBM\) также равен \(60^\circ\). Этот результат логичен, учитывая, что перпендикуляр \(MB\) не изменяет величину угла между плоскостями, а лишь задает направление нормалей, которые отражают углы в исходной плоскости треугольника.