ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(BK\) — перпендикуляр к плоскости ромба \(ABCD\) (рис. 14.24), \(\angle ABC = 100^\circ\). Найдите угол между плоскостями \(ABK\) и \(CBK\).

Угол между плоскостями \(ABK\) и \(CBK\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(BC\) в плоскости ромба.

Так как \(BK\) перпендикулярен плоскости ромба, угол между плоскостями равен дополнительному к углу \(\angle ABC\).

Вычисляем: \(180^\circ — \angle ABC = 180^\circ — 100^\circ = 80^\circ\).

Ответ: \(80^\circ\).

Отрезок \(BK\) перпендикулярен плоскости ромба \(ABCD\), значит он образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \(B\). В частности, \(BK\) перпендикулярен и к отрезкам \(AB\), и к \(BC\). Это важное свойство позволяет рассмотреть угол между плоскостями \(ABK\) и \(CBK\) через углы между прямыми, лежащими в плоскости ромба.

Плоскость \(ABK\) содержит прямые \(AB\) и \(BK\), а плоскость \(CBK\) содержит прямые \(BC\) и \(BK\). Поскольку \(BK\) общий для обеих плоскостей и перпендикулярен плоскости ромба, угол между плоскостями равен углу между прямыми \(AB\) и \(BC\), но в пространстве угол между плоскостями является дополнительным к углу в плоскости ромба. Это связано с тем, что \(BK\) поднимает линии \(AB\) и \(BC\) в разные направления, образуя угол, дополняющий угол \(\angle ABC\).

Таким образом, чтобы найти угол между плоскостями \(ABK\) и \(CBK\), нужно вычесть угол \(\angle ABC\) из \(180^\circ\). При этом учитываем, что \(\angle ABC = 100^\circ\), и получаем: \(180^\circ — 100^\circ = 80^\circ\). Это и есть искомый угол между плоскостями. Ответ равен \(80^\circ\).