ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точка \(M\) — середина ребра \(CD\). Докажите, что угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен углу \(AMB\).

Все рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, значит треугольники \(ACD\) и \(BCD\) равносторонние.

Точка \(M\) — середина ребра \(CD\), поэтому \(CM\) и \(BM\) являются медианами и высотами в этих треугольниках.

Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен углу между медианами \(AM\) и \(BM\), то есть \(\angle (ACD, BCD) = \angle AMB\).

Тетраэдр \(DABC\) равносторонний, значит все его рёбра равны по длине. Это означает, что треугольники \(ACD\) и \(BCD\), которые образованы сторонами тетраэдра, являются равносторонними треугольниками. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, а медианы, высоты и биссектрисы совпадают. Следовательно, медиана, проведённая из вершины \(C\) к середине ребра \(AD\), является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Точка \(M\) — середина ребра \(CD\), поэтому отрезок \(CM\) делит сторону \(CD\) пополам. В равносторонних треугольниках медианы являются высотами, то есть перпендикулярны основанию. Аналогично, в треугольнике \(BCD\) медиана \(BM\) тоже является высотой и биссектрисой. Таким образом, отрезки \(AM\) и \(BM\) лежат в плоскостях треугольников \(ACD\) и \(BCD\) соответственно и образуют угол, который равен углу между этими плоскостями.

Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) определяется как угол между их пересекающейся прямой \(CD\) и линиями, проведёнными из точек \(A\) и \(B\) к точке \(M\), лежащей на \(CD\). Поскольку \(AM\) и \(BM\) — это медианы и высоты равносторонних треугольников, угол \(\angle AMB\) равен углу между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\). Следовательно, \(\angle (ACD, BCD) = \angle AMB\).