ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Грань \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадратом, \(AD = 3\) см, \(AA_1 = 3\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).

Грань \(ABCD\) — квадрат со стороной \(AD = 3\) см. Высота параллелепипеда \(AA_1 = 3\) см. Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — параллельны, так как \(A_1B_1C_1\) — верхняя грань, параллельная основанию.

Угол между параллельными плоскостями равен \(0^\circ\).

Ответ: \(0^\circ\)

Грань \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда является квадратом со стороной \(AD = 3\) см, значит все стороны этой грани равны 3 см, и она лежит в одной плоскости. Высота параллелепипеда \(AA_1\) равна 3 см, что означает, что точка \(A_1\) находится на расстоянии 3 см перпендикулярно вверх от плоскости основания \(ABCD\).

Плоскость \(ABC\) образована точками \(A\), \(B\) и \(C\), которые лежат на основании параллелепипеда. Плоскость \(A_1B_1C_1\) — это верхняя грань, параллельная плоскости основания, так как она образована вершинами, смещёнными на высоту \(AA_1\) вверх. Векторы, лежащие в плоскости \(ABC\), можно задать как \(\overrightarrow{AB} = (3, 0, 0)\) и \(\overrightarrow{BC} = (0, 3, 0)\). Перемножение этих векторов даёт нормаль к плоскости: \(\mathbf{n}_1 = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = (0, 0, 9)\).

Поскольку плоскость \(A_1B_1C_1\) параллельна плоскости \(ABC\), её нормаль \(\mathbf{n}_2\) совпадает с \(\mathbf{n}_1\) по направлению. Угол между двумя плоскостями определяется углом между их нормалями. В данном случае угол между нормалями равен 0°, потому что нормали совпадают по направлению, следовательно, угол между плоскостями тоже равен 0°. Таким образом, плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны и не имеют наклона друг к другу.

Итог: угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равен \(0^\circ\).