ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В гранях двугранного угла, равного \(45^\circ\), проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на \(2\sqrt{2}\) см и \(3\) см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Даны двугранный угол \(45^\circ\) и две прямые, параллельные ребру и удалённые от него на \(2\sqrt{2}\) и \(3\) см.

Расстояние между прямыми равно длине отрезка \(OP\) в треугольнике \(COP\), где \(OC = 2\sqrt{2}\), \(CP = 3\), угол при \(C\) равен \(45^\circ\).

По теореме косинусов: \(OP^2 = OC^2 + CP^2 — 2 \cdot OC \cdot CP \cdot \cos 45^\circ\).

Подставляем: \(OP^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 — 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 9 — 12 = 5\).

Следовательно, \(OP = \sqrt{5}\) см.

Двугранный угол равен 45 градусов, и в каждой из его граней проведена прямая, параллельная ребру угла. Эти прямые удалены от ребра на расстояния \(2 \sqrt{2}\) см и 3 см соответственно. Чтобы найти расстояние между этими прямыми, нужно рассмотреть треугольник, образованный перпендикулярами от ребра к этим прямым и от одной прямой к другой.

Обозначим точку пересечения ребра с плоскостью одной из граней как \(O\). Перпендикуляр от ребра к первой прямой равен \(OC = 2 \sqrt{2}\) см, а перпендикуляр во второй плоскости — \(CD = 3\) см. Угол между плоскостями равен 45 градусам, поэтому угол между отрезками \(OC\) и \(CD\) также равен 45 градусам. Рассмотрим треугольник \(OCP\), где \(P\) — точка на второй прямой, перпендикулярная первой.

Для нахождения расстояния между прямыми нужно вычислить длину отрезка \(OP\), который является искомым расстоянием. Применим теорему косинусов: \(OP^{2} = OC^{2} + CP^{2} — 2 \cdot OC \cdot CP \cdot \cos 45^\circ\). Подставляем известные значения: \(OC = 2 \sqrt{2}\), \(CP = 3\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Вычисляем: \(OP^{2} = (2 \sqrt{2})^{2} + 3^{2} — 2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 9 — 12 = 5\). Отсюда следует, что \(OP = \sqrt{5}\) см — это и есть расстояние между двумя прямыми, параллельными ребру двугранного угла и удалёнными от него на заданные расстояния.