ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость \(\alpha\) пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым \(m\) и \(n\). Расстояние от ребра двугранного угла до прямой \(m\) равно \(3\) см, до прямой \(n\) — \(5\) см, а расстояние между прямыми \(m\) и \(n\) — \(7\) см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть \(m = 3\), \(n = 5\), \(d = 7\) — расстояния, данные в условии. Расстояние между параллельными прямыми в разных плоскостях связано с углом \(\theta\) между плоскостями формулой: \(d^2 = m^2 + n^2 — 2mn \cos \theta\).

Подставляем числа: \(49 = 9 + 25 — 30 \cos \theta\), откуда \(49 = 34 — 30 \cos \theta\).

Переносим: \(15 = -30 \cos \theta\), значит \(\cos \theta = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}\).

Следовательно, угол \(\theta = 120^\circ\).

Дано двугранный угол с ребром, к которому проведена плоскость, пересекающая грани двугранного угла по параллельным прямым \(m\) и \(n\). Из условия известно, что расстояние от ребра до прямой \(m\) равно 3 см, а до прямой \(n\) — 5 см. Кроме того, расстояние между этими двумя параллельными прямыми равно 7 см. Необходимо найти угол между гранями двугранного угла, то есть угол между плоскостями, в которых лежат эти прямые.

Для решения задачи используем геометрическую зависимость, связывающую расстояния от ребра до прямых и расстояние между этими прямыми с углом между плоскостями. Если обозначить угол между гранями двугранного угла через \(\theta\), то расстояние \(d\) между параллельными прямыми выражается формулой \(d^2 = m^2 + n^2 — 2mn \cos \theta\), где \(m\) и \(n\) — расстояния от ребра до прямых. Эта формула вытекает из теоремы косинусов, применённой к треугольнику, образованному проекциями точек на ребре и прямых.

Подставляем известные значения: \(d = 7\), \(m = 3\), \(n = 5\). Получаем уравнение \(7^2 = 3^2 + 5^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos \theta\), что даёт \(49 = 9 + 25 — 30 \cos \theta\). Приводим подобные: \(49 = 34 — 30 \cos \theta\), откуда \(15 = -30 \cos \theta\). Делим обе части на \(-30\), получая \(\cos \theta = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}\). Значит угол \(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\), что равно \(120^\circ\).

Таким образом, угол между гранями двугранного угла равен \(120^\circ\). Это означает, что плоскости, образующие двугранный угол, расходятся под углом в 120 градусов, что подтверждается вычислениями на основе расстояний и положения прямых в пространстве.