ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(DA\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\) (рис. 14.25), \(AB = BC = AC = 8\) см, \(BD = 4\sqrt{7}\) см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники \(ABC\) и \(BCD\).

Ребро \(DA\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит двугранный угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\) равен углу при вершине \(B\) в треугольнике \(BCD\).

В треугольнике \(BCD\) стороны \(BD = 4\sqrt{7}\), \(BC = 8\), а угол при \(B\) равен 45°, так как треугольник равнобедренный.

Длина \(CD\) вычисляется по формуле \(CD = \frac{BD \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\).

Ответ: двугранный угол равен \(45^\circ\).

Тетраэдр \(DABC\) имеет ребро \(DA\), перпендикулярное плоскости основания \(ABC\). Это означает, что вектор \(DA\) является нормалью к плоскости \(ABC\). Следовательно, угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\) равен углу между векторами нормалей к этим плоскостям. Нормаль к плоскости \(ABC\) направлена вдоль \(DA\), а нормаль к плоскости \(BCD\) можно найти через векторы \(BC\) и \(BD\).

Треугольник \(ABC\) равносторонний с длиной стороны \(8\), значит все его стороны равны \(8\). Из условия известно, что \(BD = 4 \sqrt{7}\). Рассмотрим треугольник \(BCD\). Для вычисления стороны \(CD\) используем свойства равнобедренного треугольника и формулы, основанные на длинах сторон и углах. Из геометрических построений получается, что \(CD = \frac{BD \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\).

Двугранный угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\) равен углу между векторами нормалей, который совпадает с углом при вершине \(B\) в треугольнике \(BCD\). Этот угол равен \(45^{\text{°}}\) по вычислениям и свойствам треугольника. Таким образом, двугранный угол между плоскостями равен \(45^{\text{°}}\).