ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(DB\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\) (рис. 14.26), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = BC = 7\) см, \(AD = 7\sqrt{5}\) см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники \(ABC\) и \(ACD\).

Дано: \(AC = BC = 7\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AD = 7\sqrt{5}\), \(DB \perp ABC\).

Найдем \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2}\).

Вектор нормали к плоскости \(ABC\) направлен вдоль \(DB\), а к плоскости \(ACD\) — вдоль вектора \(AC \times AD\).

Вычислим угол между нормалями: \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}\).

Тогда двугранный угол равен \(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 60^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), а стороны \(AC\) и \(BC\) равны 7. По теореме Пифагора вычисляем гипотенузу \(AB\) как \(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{7^{2} + 7^{2}} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\). Это позволяет нам понять размеры основания треугольника \(ABC\), на котором строится дальнейшее решение.

В условии сказано, что отрезок \(DB\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), то есть вектор \(DB\) является нормалью к этой плоскости. Для нахождения двугранного угла между плоскостями \(ABC\) и \(ACD\) нужно найти угол между их нормалями. Нормаль к плоскости \(ACD\) можно получить через векторное произведение векторов \(AC\) и \(AD\). Если ввести систему координат так, что \(A\) в начале, \(C\) на оси \(x\) в точке \((7,0,0)\), \(B\) на оси \(y\) в точке \((0,7,0)\), а \(D\) на оси \(z\) в точке \((0,0,7\sqrt{5})\), то векторы будут \(\vec{AC} = (7,0,0)\) и \(\vec{AD} = (0,0,7\sqrt{5})\), а вектор \(DB = (0,7,-7\sqrt{5})\).

Векторное произведение \(\vec{AC} \times \vec{AD}\) равно \((0, -49\sqrt{5}, 0)\), что является нормалью к плоскости \(ACD\). Теперь вычислим угол между нормалями \(\vec{n}_1 = (0, -49\sqrt{5}, 0)\) и \(\vec{n}_2 = \vec{DB} = (0,7,-7\sqrt{5})\). Скалярное произведение равно \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \cdot 0 + (-49\sqrt{5}) \cdot 7 + 0 \cdot (-7\sqrt{5}) = -343\sqrt{5}\). Модули векторов равны \( |\vec{n}_1| = 49\sqrt{5} \) и \( |\vec{n}_2| = \sqrt{7^{2} + ( -7\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{49 + 49 \cdot 5} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6} \).

Подставляя в формулу косинуса угла между векторами, получаем \(\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{343\sqrt{5}}{49\sqrt{5} \cdot 7\sqrt{6}} = \frac{343\sqrt{5}}{343\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{5}{30}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\). Следовательно, двугранный угол равен \(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 60^\circ\).