ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(D\) равноудалена от вершин прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ACD\), если \(AC = BC = 2\) см, а точка \(D\) удалена от плоскости \(ABC\) на \(3\) см.

Точка \(D\) равноудалена от вершин треугольника \(ABC\), значит она лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\), проходящем через центр описанной окружности \(O\).

Поскольку \(AC=BC=2\) и \(\angle ACB=90^\circ\), центр \(O\) — середина гипотенузы \(AB\) с координатами \( (1,1,0) \).

Точка \(D\) находится на высоте 3 см над плоскостью \(ABC\), значит \(D = (1,1,3)\).

Вектор нормали к плоскости \(ABC\) равен \( \vec{n}_{ABC} = (0,0,1) \).

Векторы на плоскости \(ACD\): \( \vec{AC} = (-2,0,0) \), \( \vec{AD} = (-1,1,3) \).

Нормаль к плоскости \(ACD\): \( \vec{n}_{ACD} = \vec{AC} \times \vec{AD} = (0,6,-2) \).

Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормалями:

\( \cos \theta = \frac{| \vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{ACD} |}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n}_{ACD}|} = \frac{| -2 |}{\sqrt{0^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{40}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Угол между плоскостями: \( \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 71{,}6^\circ \).

Треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\), и стороны \(AC\) и \(BC\) равны 2 см. Это значит, что гипотенуза \(AB\) равна \( \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \). Центр описанной окружности \(O\) для прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы, поэтому его координаты можно определить как середину отрезка \(AB\). Если принять координаты \(C\) за начало системы, \(C = (0,0,0)\), то \(A = (2,0,0)\), \(B = (0,2,0)\), тогда центр \(O\) будет иметь координаты \( ( \frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}, 0 ) = (1,1,0) \).

Точка \(D\) равноудалена от всех трёх вершин \(A, B, C\), значит она лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\), проходящем через центр описанной окружности \(O\). Так как расстояние от \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 3 см, то координаты точки \(D\) можно записать как \( (1,1,3) \), где \(z=3\) — расстояние от плоскости \(ABC\), расположенной в плоскости \(z=0\).

Для нахождения угла между плоскостями \(ABC\) и \(ACD\) нужно найти угол между их нормалями. Нормаль к плоскости \(ABC\) — это вектор, перпендикулярный плоскости \(z=0\), то есть \( \vec{n}_{ABC} = (0,0,1) \). Для плоскости \(ACD\) найдём два вектора на плоскости: \( \vec{AC} = C — A = (-2,0,0) \) и \( \vec{AD} = D — A = (-1,1,3) \). Нормаль к плоскости \(ACD\) — векторное произведение этих двух векторов:

\( \vec{n}_{ACD} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (0, 6, -2) \).

Длина нормали \( \vec{n}_{ACD} \) равна \( \sqrt{0^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \).

Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между их нормалями, который вычисляется как скалярное произведение нормалей, делённое на произведение их длин:

\( \cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{ACD}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n}_{ACD}|} = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 + 1 \cdot (-2)|}{1 \cdot 2 \sqrt{10}} = \frac{2}{2 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Отсюда угол между плоскостями равен \( \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{10}} \), что приблизительно равно \(71{,}6^\circ\).