ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(D\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\), если \(AB = 12\) см, а точка \(D\) удалена от плоскости \(ABC\) на \(2\) см.

Высота равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(h = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см.

Расстояние от центра \(O\) треугольника до вершины \(A\) равно \(AO = \frac{h}{3} = 2 \sqrt{3}\) см.

Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно \(DO = 2\) см.

Длина отрезка \(AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + 2^2} = 4\) см.

Косинус угла между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(\cos \theta = \frac{AO}{AD} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Угол между плоскостями \(\theta = 30^\circ\).

Равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 12\) см имеет высоту, которую можно найти по формуле \(h = \frac{AB \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значения, получаем \(h = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см. Эта высота опускается из вершины \(C\) на сторону \(AB\) и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Точка \(D\) равноудалена от всех вершин треугольника \(ABC\), значит она находится на оси, проходящей через центр треугольника и перпендикулярной плоскости \(ABC\). Центр \(O\) равностороннего треугольника — это точка пересечения медиан, и расстояние от центра до вершины \(A\) равно \(AO = \frac{h}{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\) см. Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) задано и равно \(DO = 2\) см, то есть \(D\) находится на высоте \(2\) см над плоскостью треугольника.

Для нахождения угла между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) нужно рассмотреть треугольник \(AOD\), где \(O\) — проекция точки \(D\) на плоскость \(ABC\). Длина отрезка \(AD\) вычисляется по теореме Пифагора: \(AD = \sqrt{AO^{2} + DO^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + 2^{2}} = \sqrt{12 + 4} = 4\) см. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям, который можно найти через косинус: \(\cos \theta = \frac{AO}{AD} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, искомый угол \(\theta = 30^\circ\).