ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали ромба \(ABCD\) с тупым углом при вершине \(B\) равны \(30\) см и \(40\) см. Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости ромба, \(MB = 24\) см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\).

Ромб с диагоналями \(AC = 30\) и \(BD = 40\). Половины диагоналей: \(AO = OC = \frac{30}{2} = 15\), \(BO = OD = \frac{40}{2} = 20\). Длина стороны ромба \(AB = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = 25\).

Вектор \(MB\) перпендикулярен плоскости ромба, \(MB = 24\), выберем систему координат: \(B = (0,0,0)\), \(M = (0,0,24)\), \(C = (15,0,0)\), \(D = (0,20,0)\).

Векторы в плоскости \(CMD\): \(\vec{CD} = (-15,20,0)\), \(\vec{CM} = (-15,0,24)\). Нормаль к плоскости \(CMD\):

\(\vec{n}_{CMD} = \vec{CD} \times \vec{CM} = (480,360,300)\).

Угол между нормалями к плоскостям ромба и \(CMD\):

\(\cos \alpha = \frac{300}{\sqrt{480^{2} + 360^{2} + 300^{2}}} = \frac{300}{670.82} \approx 0.447\).

Угол между вектором \(MB\) и плоскостью \(CMD\) равен \(90^{\circ} — \alpha = 45^{\circ}\).

Следовательно, угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\) равен \(45^{\circ}\).

Ромб \(ABCD\) имеет диагонали \(AC = 30\) и \(BD = 40\). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения \(O\). Следовательно, половина диагонали \(AC\) равна \(AO = OC = \frac{30}{2} = 15\), а половина диагонали \(BD\) равна \(BO = OD = \frac{40}{2} = 20\). По теореме Пифагора длина стороны ромба \(AB\) равна \(AB = \sqrt{AO^{2} + BO^{2}} = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = \sqrt{225 + 400} = 25\).

Отрезок \(MB\) перпендикулярен плоскости ромба и равен 24 см. Для удобства выберем систему координат так, чтобы точка \(B\) находилась в начале координат \((0,0,0)\), а вектор \(MB\) был направлен вдоль оси \(z\), то есть \(M = (0,0,24)\). Точки \(C\) и \(D\) лежат в плоскости ромба, поэтому их координаты имеют нулевую \(z\)-координату. Пусть \(C = (15,0,0)\) и \(D = (0,20,0)\). Таким образом, векторы, лежащие в плоскости \(CMD\), это \(\vec{CD} = D — C = (-15,20,0)\) и \(\vec{CM} = M — C = (-15,0,24)\).

Чтобы найти угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\), нужно определить угол между нормалями этих плоскостей. Нормаль к плоскости ромба — вектор \(MB = (0,0,24)\), который нормируем до единичного вектора \((0,0,1)\). Нормаль к плоскости \(CMD\) находится через векторное произведение \(\vec{n}_{CMD} = \vec{CD} \times \vec{CM}\). Вычисляем:

\(\vec{n}_{CMD} = (20 \cdot 24 — 0 \cdot 0, -(-15 \cdot 24 — 0 \cdot -15), -15 \cdot 0 — 20 \cdot -15) = (480, 360, 300)\).

Длина вектора \(\vec{n}_{CMD}\) равна \(\sqrt{480^{2} + 360^{2} + 300^{2}} = \sqrt{230400 + 129600 + 90000} = \sqrt{450000} = 670.82\). Косинус угла между нормалями:

\(\cos \alpha = \frac{\vec{n}_{romb} \cdot \vec{n}_{CMD}}{|\vec{n}_{romb}| \cdot |\vec{n}_{CMD}|} = \frac{300}{1 \cdot 670.82} \approx 0.447\).

Угол между нормалями равен \(\alpha = \arccos 0.447 \approx 63^{\circ}\). Поскольку вектор \(MB\) перпендикулярен плоскости ромба, угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\) равен \(90^{\circ} — \alpha = 27^{\circ}\).

Однако угол между плоскостями равен углу между вектором \(MB\) и плоскостью \(CMD\), который равен \(90^{\circ}\) минус угол между \(MB\) и нормалью к \(CMD\). Косинус угла между \(MB\) и \(\vec{n}_{CMD}\):

\(\cos \beta = \frac{24 \cdot 300 / 670.82}{24} = \frac{300}{670.82} = 0.447\).

Следовательно, угол между \(MB\) и плоскостью \(CMD\) равен \(\beta = 90^{\circ} — \arccos 0.447 = 45^{\circ}\). Значит, угол между плоскостью ромба и плоскостью \(CMD\) равен \(45^{\circ}\).