ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MC\) — перпендикуляр к плоскости квадрата \(ABCD\). Угол между плоскостью квадрата и плоскостью \(AMD\) равен \(45^\circ\). Найдите площадь квадрата, если точка \(M\) удалена от прямой \(AD\) на \(10\) см.

Отрезок \(MC\) перпендикулярен плоскости квадрата, угол между плоскостью квадрата и плоскостью \(AMD\) равен \(45^\circ\). Тогда проекция \(MK\) точки \(M\) на плоскость квадрата равна \(10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\).

Площадь квадрата равна квадрату стороны, то есть \(S = (5\sqrt{2})^2 = 50\).

Ответ: площадь квадрата \(50\) см².

Точка \(M\) расположена так, что отрезок \(MC\) перпендикулярен плоскости квадрата \(ABCD\). Это значит, что \(MC\) является высотой, проведённой из точки \(M\) к плоскости квадрата. Плоскость \(AMD\) образует угол \(45^\circ\) с плоскостью квадрата, следовательно, угол между отрезком \(MC\) и плоскостью \(AMD\) тоже равен \(45^\circ\). Этот угол важен, так как позволяет связать расстояния и стороны фигуры.

Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно \(10\) см. Это расстояние — длина перпендикуляра, опущенного из точки \(M\) на прямую \(AD\). Рассмотрим проекцию точки \(M\) на плоскость квадрата — обозначим её \(K\). Проекция \(MK\) будет лежать в плоскости квадрата и образует с прямой \(AD\) угол, связанный с углом между плоскостями. Так как угол между плоскостями равен \(45^\circ\), то длина проекции \(MK\) равна \(10 \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\) см.

Поскольку \(K\) лежит на стороне квадрата, а \(MK\) — это сторона квадрата, то площадь квадрата равна квадрату длины стороны. Следовательно, площадь \(S\) равна \(MK^{2} = (5\sqrt{2})^{2} = 25 \cdot 2 = 50\) см^{2}. Таким образом, площадь квадрата \(ABCD\) равна \(50\) см^{2}.