ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Катет \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(30^\circ\). Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), если \(AB = 15\) см, \(BC = 9\) см.

Найдем катет \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{15^2 — 9^2} = 12\) см.

Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно проекции \(AC\) на перпендикуляр к плоскости, то есть \(d = AC \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см.

Ответ: 6 см.

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) известны длины гипотенузы \(AB = 15\) см и катета \(BC = 9\) см. Чтобы найти второй катет \(AC\), применяем теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Записываем это как \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). Следовательно, \(AC^2 = AB^2 — BC^2\). Подставляем известные значения: \(AC^2 = 15^2 — 9^2 = 225 — 81 = 144\). Извлекая корень, получаем \(AC = \sqrt{144} = 12\) см.

Далее нам нужно найти расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), в которой лежит катет \(BC\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(30^\circ\). Это значит, что плоскость \(ABC\) наклонена к плоскости \(\alpha\) под углом \(30^\circ\). Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Этот перпендикуляр является проекцией катета \(AC\) на направление, перпендикулярное плоскости \(\alpha\).

Так как угол между плоскостями равен \(30^\circ\), длина перпендикуляра \(d\) равна \(AC\), умноженному на синус угла между плоскостями: \(d = AC \cdot \sin 30^\circ\). Подставляем числовые значения: \(d = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см. Таким образом, расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно 6 см.