ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(45^\circ\). Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 12\) см, \(AB = 10\) см.

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC=12\) и боковой стороной \(AB=10\) высота \(BH\) равна \(BH = \sqrt{10^2 — 6^2} = 8\).

Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), образующей угол \(45^\circ\) с плоскостью \(ABC\), равно \(BM = BH \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\).

Ответ: \(BM = 4 \sqrt{2}\) сантиметров.

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC = 12\) и боковыми сторонами \(AB = BC = 10\) сначала находим высоту \(BH\), опущенную из вершины \(B\) на основание \(AC\). Поскольку \(ABC\) равнобедренный, точка \(H\) является серединой отрезка \(AC\), следовательно, \(AH = \frac{AC}{2} = 6\). Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(BHA\), где \(BH\) — высота, \(AB\) — гипотенуза, а \(AH\) — катет. Тогда \(BH = \sqrt{AB^{2} — AH^{2}} = \sqrt{10^{2} — 6^{2}} = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через основание \(AC\) и образует с плоскостью треугольника \(ABC\) угол \(45^\circ\). Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) — это длина перпендикуляра \(BM\), опущенного из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку плоскость \(\alpha\) проходит через \(AC\), линия \(AC\) лежит в обеих плоскостях, и угол между плоскостями равен углу между высотой \(BH\) и её проекцией на плоскость \(\alpha\). Таким образом, расстояние \(BM\) можно выразить через высоту \(BH\) и угол между плоскостями: \(BM = BH \sin 45^\circ\).

Подставляя числовые значения, получаем \(BM = 8 \cdot \sin 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\). Следовательно, искомое расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно \(4 \sqrt{2}\) сантиметров.