ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона \(BC\) треугольника \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а вершина \(A\) удалена от этой плоскости на \(2\sqrt{2}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), если \(AB = 8\) см, \(\angle ABC = 150^\circ\).

Дано: \(AB = 8\), \(\angle ABC = 150^\circ\), расстояние от \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(2\sqrt{2}\).

В треугольнике \(BKC\) угол \(B = 30^\circ\), тогда \(BK = \frac{1}{2} AB = 4\).

В треугольнике \(AKM\) по теореме Пифагора \(KM = \sqrt{16 — 8} = 2\sqrt{2}\).

Так как треугольник \(AKM\) равнобедренный, угол между плоскостями равен \(45^\circ\).

Дано, что сторона \(AB\) равна 8 см, а угол при вершине \(B\) в треугольнике \(ABC\) составляет 150°. Плоскость \(\alpha\) содержит сторону \(BC\), и точка \(A\) удалена от этой плоскости на расстояние \(2\sqrt{2}\) см. Для нахождения угла между плоскостью \(ABC\) и плоскостью \(\alpha\) нужно рассмотреть проекцию точки \(A\) на плоскость \(\alpha\).

Рассмотрим треугольник \(BKC\), где \(K\) — проекция \(A\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку угол \(ABC = 150^\circ\), угол \(CBK\) в плоскости \(\alpha\) равен \(30^\circ\), так как \(K\) лежит на \(BC\). В этом треугольнике по свойствам равнобедренного треугольника длина \(BK\) равна половине \(AB\), то есть \(BK = \frac{1}{2} AB = 4\) см.

Далее, в треугольнике \(AKM\), где \(M\) — точка на \(BC\), по теореме Пифагора вычисляем \(KM\). Известно, что \(AK = 4\sqrt{2}\) см (высота из \(A\) на плоскость \(\alpha\)), а \(AM = 4\) см. Тогда \(KM = \sqrt{AK^{2} — AM^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{2})^{2} — 4^{2}} = \sqrt{32 — 16} = \sqrt{16} = 4\) см. Треугольник \(AKM\) равнобедренный, следовательно, угол между плоскостями равен углу \(AKM\), который равен 45°.