ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона \(AD\) ромба \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), а расстояние между прямой \(BC\) и этой плоскостью равно \(7\sqrt{3}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), если сторона ромба равна \(28\) см, а \(\angle BAD = 30^\circ\).

Дано: сторона ромба \(28\), угол \(BAD = 30^\circ\), расстояние от прямой \(BC\) до плоскости \(\alpha\) равно \(7\sqrt{3}\).

В треугольнике \(ABC\) \(MB = \frac{1}{2} BC = 14\).

Высота от \(B\) до плоскости \(\alpha\) равна \(7\sqrt{3}\).

Синус угла между плоскостями равен отношению высоты к проекции: \(\sin \angle = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, угол между плоскостями равен \(60^\circ\).

Ромб \(ABCD\) имеет сторону длиной \(28\) см и угол \(BAD = 30^\circ\). Плоскость \(\alpha\) содержит сторону \(AD\), а прямая \(BC\) находится на расстоянии \(7\sqrt{3}\) см от этой плоскости. Чтобы найти угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), нужно рассмотреть взаимное расположение этих элементов в пространстве.

Поскольку \(ABCD\) — ромб, все его стороны равны, значит \(AB = BC = 28\) см. Точка \(M\) — проекция точки \(B\) на плоскость \(\alpha\), при этом \(M\) лежит на прямой \(BC\). Так как \(M\) — середина отрезка \(BC\), длина \(BM\) равна половине \(BC\), то есть \(BM = \frac{28}{2} = 14\) см. Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно \(7\sqrt{3}\), это высота \(h\), опущенная из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\).

Угол между плоскостями равен углу между прямой \(BM\), лежащей в плоскости \(ABC\), и её проекцией на плоскость \(\alpha\). Этот угол можно найти через синус, как отношение высоты \(h\) к длине \(BM\): \(\sin \theta = \frac{h}{BM} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, угол между плоскостями равен \(60^\circ\).